Regresi Logistik (Binary Logistic Regression)

Variabel terikat Anda hanya punya dua nilai: nasabah membeli (1) atau tidak (0), mahasiswa lulus tepat waktu (1) atau telat (0), perusahaan bangkrut (1) atau sehat (0). Anda coba regresi linear biasa, lalu hasilnya aneh: untuk satu responden model meramalkan “peluang membeli = 1,3”, untuk responden lain “−0,2”.

Tidak ada peluang yang lebih besar dari 1 atau kurang dari 0. Sebuah ramalan peluang sebesar 1,3 sama mustahilnya dengan mengatakan “kemungkinan hujan besok 130%”. Di titik inilah regresi linear menyerah, dan regresi logistik mengambil alih.

Artikel ini membangun regresi logistik dari nol: kenapa peluang membutuhkan kurva berbentuk huruf S, apa arti odds, logit, dan odds ratio, cara menelusuri rantai logit → odds → probabilitas dengan tangan, sampai cara membaca tabel Variables in the Equation di SPSS.

Kapan Dipakai

Regresi logistik biner dipakai saat variabel terikat hanya punya dua kategori — diberi kode 0 dan 1 — sementara variabel bebasnya boleh berupa angka maupun kategori. Tujuannya bukan menebak nilai Y secara langsung, melainkan menebak probabilitas Y bernilai 1. Contoh pertanyaan skripsi:

• Apakah pendapatan dan usia memengaruhi peluang nasabah mengambil kredit (ya/tidak)?
• Apakah IPK dan keaktifan organisasi memengaruhi peluang lulus tepat waktu (ya/tidak)?
• Apakah rasio keuangan memengaruhi peluang perusahaan bangkrut (ya/tidak)?

Kenapa Regresi Linear Gagal

Bayangkan kita memaksa garis lurus untuk meramalkan peluang. Garis lurus tidak mengenal batas: begitu nilai X cukup besar, garis terus naik menembus angka 1; begitu X cukup kecil, garis terus turun di bawah 0. Padahal peluang dikurung di rentang [0, 1].

Regresi logistik menyelesaikannya dengan membungkus hasil persamaan garis ke dalam kurva berbentuk huruf S yang selalu landai mendekati 0 di kiri dan mendekati 1 di kanan, tanpa pernah melewati keduanya. Bandingkan keduanya dalam satu gambar:

Itulah inti seluruh metode ini: kita tetap memakai persamaan garis $b_0 + b_1 X$ seperti pada regresi linear, tetapi mengubahnya lewat sebuah fungsi yang menjamin hasilnya selalu peluang yang sah.

Tiga Istilah Kunci: Odds, Logit, Odds Ratio

Tiga istilah ini adalah jantung regresi logistik. Pahami sekali, sisanya mengalir sendiri.

Odds (peluang relatif) adalah perbandingan peluang sesuatu terjadi dibanding tidak terjadi. Kalau peluang membeli $p = 0{,}8$, maka peluang tidak membeli $1 - 0{,}8 = 0{,}2$, sehingga

$$\text{odds} = \frac{p}{1-p} = \frac{0{,}8}{0{,}2} = 4$$

Bacanya “4 banding 1”: peluang membeli empat kali lebih besar daripada tidak membeli. Odds selalu positif dan tidak punya batas atas — sifat yang sebentar lagi berguna. (Di sini $p$ = probabilitas kejadian, dan $1-p$ = probabilitas bukan-kejadian; keduanya angka antara 0 dan 1.)

Logit (log-odds) adalah logaritma natural dari odds:

$$\text{logit} = \ln(\text{odds}) = \ln\!\left(\frac{p}{1-p}\right)$$

Di sini $\ln$ adalah logaritma natural (logaritma berbasis bilangan Euler $e \approx 2{,}718$); $\ln(\text{odds})$ menjawab “$e$ dipangkatkan berapa supaya menghasilkan odds?”. Logit inilah bagian yang berperilaku linear terhadap X, jadi inilah yang sebenarnya dimodelkan sebagai garis lurus: $\text{logit} = b_0 + b_1 X$. Logit boleh bernilai negatif, nol, atau positif tanpa batas — persis seperti garis lurus yang juga tak terbatas. Itulah mengapa pemodelan dilakukan pada skala logit, bukan langsung pada peluang.

Odds ratio (OR) adalah $e^{b_1}$ — berapa kali lipat odds berubah setiap X naik satu unit:

$$\text{OR} = e^{b_1}$$

OR inilah angka yang dilaporkan dan ditafsirkan dalam skripsi, karena “kali lipat” jauh lebih enak dibaca daripada “perubahan logit”. Aturan tafsirnya sederhana:

• OR > 1 → tiap kenaikan satu unit X menaikkan peluang Y = 1.
• OR = 1 → X tidak mengubah peluang (tidak berpengaruh).
• OR < 1 → tiap kenaikan satu unit X menurunkan peluang Y = 1.

Contoh: OR = 2 berarti tiap kenaikan satu unit X membuat odds menjadi dua kali lipat; OR = 0,5 berarti odds menjadi setengah.

Rumus

Probabilitas Y = 1 dihitung dari fungsi logistik — inilah pembungkus berbentuk S itu:

$$ p = \frac{e^{(b_0 + b_1 X)}}{1 + e^{(b_0 + b_1 X)}} $$

Penjelasan tiap lambang:

• $p$ = probabilitas kejadian (Y = 1), hasilnya selalu antara 0 dan 1.
• $b_0$ = konstanta (intercept), yaitu nilai logit saat $X = 0$. Misalnya $b_0 = -0{,}693$.
• $b_1$ = koefisien, yaitu perubahan logit setiap $X$ naik satu unit. Misalnya $b_1 = 0{,}693$.
• $X$ = variabel bebas (mis. lama interaksi nasabah dalam jam).
• $e$ = bilangan Euler $\approx 2{,}718$; $e^{(b_0+b_1 X)}$ artinya $e$ dipangkatkan nilai logit.

Dua rumus pendamping menghubungkan ketiga istilah tadi:

$$ \text{odds} = \frac{p}{1-p} \qquad \text{OR} = e^{b_1} $$

Ketiganya membentuk satu rantai yang akan kita telusuri dengan angka: persamaan garis menghasilkan logit, logit di-exp-kan (dipangkatkan ke $e$) menjadi odds, lalu odds diubah menjadi probabilitas.

$$\underbrace{b_0 + b_1 X}_{\text{logit}} \;\xrightarrow{\ e^{(\cdot)}\ }\; \text{odds} \;\xrightarrow{\ \frac{\text{odds}}{1+\text{odds}}\ }\; p$$

Contoh Hitung dari Nol

Penaksiran koefisien regresi logistik memakai metode Maximum Likelihood (kemungkinan maksimum) yang berjalan iteratif — komputer mencoba banyak kombinasi nilai $b_0$ dan $b_1$ sampai menemukan yang paling cocok dengan data. Karena itu koefisien tidak bisa dihitung tangan; itu tugas SPSS. Tetapi begitu koefisien sudah di tangan, seluruh rantai logit → odds → probabilitas bisa Anda hitung sendiri. Bagian inilah yang paling sering ditanya dosen penguji.

Misalkan SPSS memberi model dengan konstanta $b_0 = -0{,}693$ dan koefisien $b_1 = 0{,}693$. Variabel $X$ adalah lama interaksi nasabah dengan sales (dalam jam), dan Y = membeli (1) atau tidak (0). (Angka $0{,}693$ sengaja dipilih karena $\ln 2 \approx 0{,}693$, sehingga $e^{0{,}693} \approx 2$ — hasil-hasilnya bulat dan mudah diperiksa.)

Langkah 1 — hitung odds ratio. OR adalah $e$ dipangkatkan koefisien:

$$ \text{OR} = e^{b_1} = e^{0{,}693} = 2{,}0 $$

Artinya tiap tambahan satu jam interaksi, odds membeli menjadi 2 kali lipat.

Langkah 2 — hitung logit untuk satu nilai X. Ambil nasabah dengan $X = 2$ jam:

$$ \text{logit} = b_0 + b_1 X = -0{,}693 + 0{,}693 \times 2 = -0{,}693 + 1{,}386 = 0{,}693 $$

Langkah 3 — ubah logit menjadi odds dengan meng-exp-kannya:

$$ \text{odds} = e^{0{,}693} = 2{,}0 $$

Langkah 4 — ubah odds menjadi probabilitas:

$$ p = \frac{\text{odds}}{1 + \text{odds}} = \frac{2}{1 + 2} = \frac{2}{3} = 0{,}667 $$

Jadi nasabah dengan 2 jam interaksi punya peluang membeli 66,7%. Perhatikan rantainya berjalan utuh: logit $0{,}693$ → odds $2{,}0$ → probabilitas $0{,}667$.

Sekarang lihat sifat odds ratio bekerja. Kita ulang untuk beberapa nilai X:

Baca kolom odds dari atas ke bawah: dari $X = 1$ ke $X = 2$ odds naik dari $1{,}0$ ke $2{,}0$ (dua kali lipat), dari $X = 2$ ke $X = 3$ dari $2{,}0$ ke $4{,}0$ (dua kali lipat lagi). Itulah arti OR = 2,0 secara nyata: tiap satu unit X, odds dikali 2. Perhatikan juga baris terakhir — saat $p = 0{,}8$, odds-nya $0{,}8 / 0{,}2 = 4$, cocok persis dengan kolom tabel.

Dan inilah kuncinya: walaupun odds melompat (1 → 2 → 4 → 8 → …) tanpa batas, probabilitas tetap merangkak naik mendekati 1 tanpa pernah melampauinya (0,500 → 0,667 → 0,800 → …). Itulah kurva S melindungi kita dari peluang mustahil.

Menafsirkan Odds Ratio

OR adalah angka yang Anda tulis di kalimat hasil skripsi, jadi perlu dibaca dengan benar.

• OR = 2,0 ($b_1 = 0{,}693$): tiap kenaikan satu unit X, odds menjadi 2 kali lipat (naik 100%).
• OR = 1,5: tiap kenaikan satu unit X, odds naik 50%. Aturan praktis: persen perubahan odds $= (\text{OR} - 1) \times 100\%$.
• OR = 0,5 ($b_1 = -0{,}693$): tiap kenaikan satu unit X, odds menjadi setengah (turun 50%).
• OR = 1,0 ($b_1 = 0$): X tidak berpengaruh.

Satu peringatan penting: OR berbicara tentang odds, bukan langsung probabilitas. “Odds dua kali lipat” tidak sama dengan “peluang dua kali lipat”. Pada contoh tabel, saat odds naik dari 1 ke 2, peluang hanya naik dari 0,500 ke 0,667 — bukan dari 0,5 ke 1,0. Untuk berbicara dalam probabilitas, kita harus menelusuri rantai sampai ke ujung seperti di Langkah 4.

Bereksperimen Sendiri

Geser koefisien $b_1$ dan amati kurva S berubah curam atau mendatar; geser nilai X dan ikuti rantai logit → odds → probabilitas berjalan di kotak metrik.

Hal yang patut dicoba:

1. Geser $b_1$ dan lihat odds ratio $e^{b_1}$ ikut berubah; saat $b_1 = 0{,}693$, OR pas di 2,0.
2. Perhatikan kurva: saat $b_1$ besar kurva makin curam (X sedikit berubah, peluang melompat); saat $b_1$ mendekati 0 kurva makin mendatar (X nyaris tak berpengaruh).

Membaca Output SPSS

Di SPSS jalur menunya: Analyze → Regression → Binary Logistic. Masukkan Y biner sebagai Dependent dan prediktor sebagai Covariates. Setelah model jalan, ada beberapa angka yang dibaca berurutan.

1. Apakah variabelnya berpengaruh? — Uji Wald. Untuk tiap variabel, SPSS memberi nilai Sig. dari uji Wald (di tabel Variables in the Equation).

2. Ke arah mana pengaruhnya? — kolom Exp(B). Di tabel yang sama, kolom B = koefisien ($b_1$), dan kolom Exp(B) = odds ratio ($e^{b_1}$). Setelah variabel terbukti signifikan, baca Exp(B): OR > 1 menaikkan peluang, OR < 1 menurunkan, OR = 1 tidak berpengaruh (lihat bagian tafsir di atas).

3. Seberapa baik modelnya? — kecocokan model (goodness of fit). Tiga angka utama:

• Hosmer-Lemeshow Test: di sini kita justru ingin Sig. > 0,05. Berbeda dari uji lain, Sig. yang besar di sini bagus — artinya prediksi model tidak berbeda nyata dari data asli, jadi model dianggap fit. (Hipotesis nolnya: “model fit”; kalau Sig. kecil, nol ditolak → model tidak fit.)
• Nagelkerke R²: sebuah pseudo-R² (R² tiruan), rentang 0 sampai 1, kira-kira menggambarkan proporsi keragaman yang dijelaskan model — mirip semangat R² regresi linear, tetapi bukan ukuran yang sama persis. Nilainya cenderung lebih kecil dan tidak boleh ditafsir seketat R² biasa.
• Classification Table: persentase kasus yang berhasil diklasifikasikan dengan benar oleh model pada ambang 0,5.

Contoh tabel klasifikasi dari nol

Tabel klasifikasi memakai aturan sederhana: kalau $p \ge 0{,}5$ model meramalkan “beli (1)”, kalau $p < 0{,}5$ meramalkan “tidak (0)”. Lalu ramalan dibandingkan dengan kenyataan. Pakai model contoh tadi ($b_0 = -0{,}693$, $b_1 = 0{,}693$) pada enam nasabah:

Empat dari enam ramalan tepat, jadi akurasi klasifikasi = 4/6 = 66,7%. Dua kesalahannya khas: nasabah 2 jamnya pas-pasan tapi tetap tidak beli (model terlalu optimistis), dan nasabah 6 jamnya kecil tapi ternyata beli (faktor lain yang tidak ada di model). Tabel klasifikasi membantu Anda melihat di mana model meleset, bukan sekadar seberapa sering.

Cek Pemahaman

1. Sebuah model regresi logistik memberi konstanta $b_0 = 0$ dan koefisien $b_1 = 1{,}386$. Hitung odds ratio, lalu hitung probabilitas Y = 1 saat $X = 1$. (Petunjuk: $e^{1{,}386} \approx 4$.)

Lihat jawaban

Odds ratio $= e^{b_1} = e^{1{,}386} \approx 4{,}0$ — tiap kenaikan satu unit X, odds menjadi 4 kali lipat.

Untuk $X = 1$: logit $= 0 + 1{,}386 \times 1 = 1{,}386$ → odds $= e^{1{,}386} = 4{,}0$ → $p = \dfrac{4}{1+4} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$. Jadi peluang Y = 1 adalah 80%.

2. (soal transfer) Dalam skripsi tentang kredit, peneliti melaporkan: variabel “pendapatan” punya Sig. Wald = 0,012 dan Exp(B) = 0,75; variabel “usia” punya Sig. Wald = 0,210 dan Exp(B) = 1,40. Bagaimana Anda menafsirkan kedua variabel ini?

Lihat jawaban

Pendapatan: Sig. = 0,012 < 0,05 → berpengaruh signifikan. Exp(B) = 0,75 < 1 → tiap kenaikan satu unit pendapatan menurunkan odds mengambil kredit menjadi 0,75 kali (turun 25%). Masuk akal: orang berpendapatan lebih tinggi cenderung tidak butuh kredit.

Usia: Sig. = 0,210 ≥ 0,05 → tidak berpengaruh signifikan. Karena tidak signifikan, Exp(B) = 1,40 tidak perlu ditafsirkan — angkanya bisa jadi sekadar kebetulan dalam sampel ini. Kesalahan umum mahasiswa adalah tetap menafsir OR variabel yang tidak signifikan.

3. Sebuah output melaporkan Hosmer-Lemeshow dengan Sig. = 0,002 dan Nagelkerke R² = 0,68. Apakah modelnya fit?

Lihat jawaban

Belum tentu — ada sinyal yang bertentangan. Hosmer-Lemeshow Sig. = 0,002 < 0,05 berarti prediksi model berbeda nyata dari data asli → model tidak fit (ingat: di uji ini Sig. kecil itu jelek). Nagelkerke R² = 0,68 memang terdengar tinggi, tetapi pseudo-R² tidak menggantikan uji kecocokan. Kesimpulan: jangan terburu menyatakan model bagus hanya karena Nagelkerke tinggi; Hosmer-Lemeshow yang signifikan adalah peringatan bahwa bentuk model perlu diperbaiki (mis. tambah/kurangi prediktor, periksa linearitas logit).

Excel Companion

/excel/regresi-logistik.xlsx berisi: koefisien model ($b_0$, $b_1$) dengan perhitungan odds ratio $= \exp(b)$, tabel rantai logit → odds → probabilitas untuk beberapa nilai X dengan rumus terlihat (semua angka sama dengan artikel ini), panduan membaca output SPSS, dan daftar kesalahan umum.

Kesalahan Umum

Memakai regresi linear untuk Y biner. Garis lurus bisa meramalkan probabilitas di luar rentang 0–1 (lihat gambar pembuka) dan melanggar asumsi. Untuk Y dua kategori, pakai regresi logistik.

Menafsirkan koefisien B seolah perubahan probabilitas. Koefisien B adalah perubahan logit, bukan probabilitas, bukan pula persen. Untuk tafsir yang enak dibaca, ubah dulu ke odds ratio lewat Exp(B) — dan ingat OR berbicara tentang odds, bukan peluang langsung.

Salah membaca Hosmer-Lemeshow. Di uji ini Sig. > 0,05 justru menandakan model fit. Banyak yang terbalik mengira Sig. besar berarti model jelek.

Mengira Nagelkerke R² setara R² linear. Nagelkerke hanya pseudo-R². Nilainya cenderung lebih kecil dan tidak ditafsir seketat R² pada regresi linear; jangan jadikan satu-satunya bukti model bagus.

Menafsir OR variabel yang tidak signifikan. Kalau Sig. Wald ≥ 0,05, abaikan saja Exp(B)-nya — angka itu bisa sekadar kebetulan sampel.

Sampel terlalu kecil untuk jumlah prediktor. Estimasi Maximum Likelihood butuh data memadai, terutama cukup kasus di tiap kategori Y. Pedoman kasar: minimal sekitar 10 kasus dari kategori paling jarang untuk tiap prediktor. Sampel mungil membuat koefisien tidak stabil.

Dipakai di Dunia Nyata

Skripsi keputusan ya/tidak. Faktor yang memengaruhi keputusan nasabah mengambil kredit, mahasiswa lanjut S2, atau konsumen berpindah merek — variabel terikat dua kategori, persis lahan regresi logistik.

Credit scoring dan kebangkrutan di keuangan. Memprediksi peluang gagal bayar atau peluang perusahaan bangkrut dari rasio keuangan, lengkap dengan odds ratio tiap rasio. Model kebangkrutan klasik (mis. logit Ohlson) berdiri di atas kerangka ini.

Riset sosial dan kesehatan. Peluang seseorang ikut program, sembuh, atau memilih kandidat tertentu, berdasarkan karakteristik demografi — odds ratio adalah bahasa baku di epidemiologi dan ilmu sosial.

Lanjutan

Saat variabel terikatnya punya lebih dari dua kategori, regresi logistik biner tidak cukup; kerabatnya yang menangani klasifikasi banyak-kelompok:

• Analisis Diskriminan — memisahkan kelompok lewat fungsi diskriminan.
• Analisis Kluster — mengelompokkan tanpa label kategori yang sudah diketahui.

Fondasi yang menopang artikel ini:

• Regresi Linear Berganda — kerangka persamaan garis $b_0 + b_1 X$ yang dipakai di skala logit.
• Variabel Dummy — cara memasukkan prediktor kategori ke dalam model.

Reference

• Hosmer, D.W., Lemeshow, S., & Sturdivant, R.X. (2013), Applied Logistic Regression, 3rd ed. Wiley.
• Ghozali, I. (2018), Aplikasi Analisis Multivariate dengan Program SPSS. Badan Penerbit UNDIP.
• Hair, J.F., Black, W.C., Babin, B.J., & Anderson, R.E. (2019), Multivariate Data Analysis, 8th ed. Cengage.