Uji Mann-Whitney & Wilcoxon (Non-Parametrik Dua Sampel)

Data skripsi Anda berupa skala Likert 1–5. Setelah dijalankan uji normalitas, sebarannya tidak normal — dan dosen menolak uji t Anda. Sekarang apa? Uji t menyandarkan diri pada rata-rata dan kurva lonceng yang rapi; begitu syarat itu gagal, hasilnya tidak bisa dipercaya. Untungnya ada keluarga uji yang sama sekali tidak peduli pada bentuk sebaran: uji yang membandingkan urutan, bukan nilai.

Bayangkan dua kelompok mahasiswa diminta berbaris berdasarkan tinggi badan. Anda tidak perlu tahu tinggi tiap orang dalam sentimeter untuk melihat apakah satu kelompok cenderung lebih tinggi — cukup lihat siapa berdiri di depan. Itulah inti Mann-Whitney dan Wilcoxon: ganti tiap nilai dengan nomor antrean (peringkat), lalu lihat apakah satu kelompok memborong barisan depan.

Artikel ini membahas keduanya dari nol: kapan masing-masing dipakai, cara mengubah data jadi peringkat, menghitung statistik $U$ dan $W$ secara manual, lalu membaca hasilnya di SPSS.

Intuisi: Kenapa Peringkat

Nilai mentah bisa menipu. Satu responden yang menjawab 5 sementara semua lainnya menjawab 1 akan menarik rata-rata naik tajam — padahal cuma satu orang. Peringkat meredam pengaruh nilai ekstrem itu: angka berapa pun yang paling besar tetap hanya mendapat satu nomor antrean teratas, tidak lebih. Karena itulah uji peringkat tahan terhadap pencilan dan tidak menuntut sebaran normal.

Logikanya begini. Gabung semua data dari kedua kelompok, urutkan dari kecil ke besar, lalu ganti tiap nilai dengan nomor urutnya. Kalau dua kelompok benar-benar berbeda, satu kelompok akan menguasai peringkat kecil dan kelompok lain menguasai peringkat besar. Kalau tidak ada beda, peringkat keduanya bercampur merata. Gambar berikut menaruh dua kelompok pada satu garis nilai yang sama agar pergeserannya terlihat:

Kapan Dipakai yang Mana

Keduanya adalah versi non-parametrik (tanpa syarat sebaran tertentu) dari uji t, dipilih dalam dua situasi: data tidak lolos uji normalitas, atau data memang berskala ordinal seperti Likert, peringkat kepuasan, atau ranking. Pasangannya satu lawan satu dengan uji t:

Pertanyaan kunci untuk memilih: apakah dua angka yang dibandingkan datang dari orang yang sama?

• Tidak — dua kelompok orang berbeda (pria vs wanita, kelas A vs kelas B, kota vs desa). Pakai Mann-Whitney.
• Ya — orang yang sama diukur dua kali (sebelum vs sesudah pelatihan, kanan vs kiri, pretes vs postes). Pakai Wilcoxon.

Mann-Whitney U: Dua Kelompok Bebas

Gabung semua data dari kedua kelompok, beri peringkat $1$ sampai $N$ (dengan $N = n_1 + n_2$), lalu jumlahkan peringkat tiap kelompok. Untuk kelompok 1 dengan jumlah peringkat $R_1$:

$$ U_1 = n_1 n_2 + \frac{n_1(n_1+1)}{2} - R_1 $$

Penjelasan tiap lambang:

• $n_1$ = banyak data kelompok 1; $n_2$ = banyak data kelompok 2. Misal tiap kelompok berisi 4 responden, maka $n_1 = n_2 = 4$.
• $R_1$ = jumlah peringkat yang jatuh ke kelompok 1. Kalau kelompok 1 menempati peringkat 5, 6, 7, 8, maka $R_1 = 5+6+7+8 = 26$.
• $\frac{n_1(n_1+1)}{2}$ = peringkat terkecil yang mungkin diraih kelompok 1 (seandainya kelompok 1 menempati semua posisi terbawah). Untuk $n_1 = 4$: $\frac{4 \times 5}{2} = 10$.
• $n_1 n_2$ = jumlah pasangan antar-kelompok yang dibandingkan; di sini $4 \times 4 = 16$.

Hitung $U_2$ dengan rumus serupa (tukar indeks $1 \leftrightarrow 2$), atau pakai jalan pintas $U_2 = n_1 n_2 - U_1$. Statistik akhirnya nilai terkecil dari keduanya:

$$ U = \min(U_1, U_2) $$

Makin kecil $U$, makin terpisah kedua kelompok, jadi makin kuat bukti adanya perbedaan. Ini kebalikan dari uji t (di mana nilai besar yang berarti signifikan) — jadi hati-hati saat membaca.

Contoh hitung Mann-Whitney dari nol

Bandingkan dua kelompok kecil yang sengaja dibuat terpisah agar polanya jelas.

• Grup A ($n_1 = 4$): 6, 7, 8, 9
• Grup B ($n_2 = 4$): 1, 2, 3, 4

Langkah 1 — gabung dan urutkan. Semua data dari kecil ke besar:

$$ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9 $$

Beri peringkat sesuai posisi: nilai 1 dapat peringkat 1, nilai 2 dapat peringkat 2, dan seterusnya sampai nilai 9 dapat peringkat 8.

Langkah 2 — jumlahkan peringkat tiap grup. Grup B menempati peringkat 1, 2, 3, 4:

$$ R_B = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 $$

Grup A menempati peringkat 5, 6, 7, 8:

$$ R_A = 5 + 6 + 7 + 8 = 26 $$

Cek cepat: total semua peringkat harus $\frac{N(N+1)}{2} = \frac{8 \times 9}{2} = 36$. Memang $10 + 26 = 36$. Cocok — kalau tidak cocok, ada salah memberi peringkat.

Langkah 3 — hitung U tiap grup. Untuk grup A:

$$ U_A = n_1 n_2 + \frac{n_1(n_1+1)}{2} - R_A = 4 \times 4 + \frac{4 \times 5}{2} - 26 = 16 + 10 - 26 = 0 $$

Untuk grup B, pakai jalan pintas:

$$ U_B = n_1 n_2 - U_A = 16 - 0 = 16 $$

Langkah 4 — ambil yang terkecil.

$$ U = \min(U_A, U_B) = \min(0, 16) = 0 $$

Nilai $U = 0$ adalah nilai paling ekstrem yang mungkin: tidak ada satu pun tumpang-tindih peringkat antar grup. Seluruh nilai grup B berada di bawah seluruh nilai grup A — pergeseran dua kelompok di sini bahkan lebih tegas daripada gambar di atas, karena rentangnya sama sekali tidak bertindih.

Wilcoxon Signed-Rank: Data Berpasangan

Saat dua angka datang dari subjek yang sama (sebelum–sesudah), kita tidak menggabung dua kelompok. Sebaliknya, kita lihat selisih tiap pasangan, lalu menanyakan: apakah selisihnya cenderung condong ke satu arah (kebanyakan naik, atau kebanyakan turun)?

Langkahnya: untuk tiap pasangan hitung selisih $d_i$, buang selisih yang nol (tidak ada perubahan), beri peringkat pada nilai mutlak selisih $|d_i|$, lalu pasang kembali tandanya. Jumlahkan peringkat yang selisihnya positif menjadi $W^+$ dan yang negatif menjadi $W^-$. Statistiknya:

$$ W = \min(W^+, W^-) $$

Penjelasan tiap lambang:

• $d_i = (\text{nilai sesudah}) - (\text{nilai sebelum})$ = selisih pada pasangan ke-$i$. Kalau sebelum 60 dan sesudah 62, maka $d = 62 - 60 = +2$ (naik 2). Kalau sebelum 70 dan sesudah 66, maka $d = 66 - 70 = -4$ (turun 4).
• $|d_i|$ = nilai mutlak selisih, yaitu besarnya perubahan tanpa peduli arah. $|-4| = 4$. Peringkat diberikan pada angka ini, sehingga perubahan besar mendapat peringkat tinggi.
• $W^+$ = jumlah peringkat dari pasangan yang naik (selisih positif); $W^-$ = jumlah peringkat dari pasangan yang turun.

Logikanya: kalau perlakuan benar-benar berefek menaikkan nilai, hampir semua selisih positif sehingga $W^+$ besar dan $W^-$ kecil. Sama seperti $U$, makin kecil $W$, makin kuat bukti adanya perbedaan antara dua pengukuran. Sebagai cek, selalu berlaku $W^+ + W^- = \frac{n(n+1)}{2}$, dengan $n$ = banyak pasangan setelah selisih nol dibuang.

Contoh hitung Wilcoxon dari nol

Delapan peserta mengikuti pelatihan; skor diukur sebelum dan sesudah.

Langkah 1 — selisih $d = $ sesudah − sebelum. Buang selisih nol (di sini tidak ada yang nol, jadi $n = 8$).

Hanya peserta 2 yang turun (70 → 66); tujuh lainnya naik.

Langkah 2 — beri peringkat pada $|d_i|$. Urutkan besar selisih dari kecil ke besar, lalu beri nomor 1 sampai 8. Karena semua $|d_i|$ di sini berbeda, peringkatnya rapi:

Langkah 3 — jumlahkan peringkat per tanda. Peringkat dari selisih positif:

$$ W^+ = 1 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 34 $$

Peringkat dari selisih negatif (hanya peserta 2, peringkat 2):

$$ W^- = 2 $$

Cek cepat: $W^+ + W^- = 34 + 2 = 36 = \frac{8 \times 9}{2}$. Cocok.

Langkah 4 — ambil yang terkecil.

$$ W = \min(W^+, W^-) = \min(34, 2) = 2 $$

Nilai $W = 2$ kecil — masuk akal, karena hampir semua peserta naik dan satu-satunya penurunan pun kecil (peringkat 2 saja).

Mengambil Keputusan

Bandingkan statistik hitung dengan nilai kritis dari tabel, lalu pakai satu aturan yang sama untuk kedua uji: tolak $H_0$ (artinya: ada beda) kalau statistik hitung $\le$ nilai kritis.

Mann-Whitney (contoh tadi). Untuk $n_1 = 4$ dan $n_2 = 4$ pada taraf 5% dua arah, tabel Mann-Whitney memberi $U_\text{tabel} = 0$. Karena $U = 0$ dan $0 \le 0$ terpenuhi, maka kedua kelompok berbeda signifikan. Masuk akal — datanya terpisah sempurna. (Verifikasi: peluang eksak memperoleh pemisahan seekstrem ini secara kebetulan hanya $p = 0{,}0286 < 0{,}05$.)

Wilcoxon (contoh tadi). Untuk $n = 8$ pasangan pada taraf 5% dua arah, tabel Wilcoxon memberi $W_\text{tabel} = 3$. Karena $W = 2$ dan $2 \le 3$ terpenuhi, maka ada perbedaan signifikan antara sebelum dan sesudah pelatihan. (Verifikasi peluang eksak: $p = 0{,}0234 < 0{,}05$.)

Di SPSS Anda tidak perlu membaca tabel manual — cukup lihat nilai Sig. (Asymp. Sig. 2-tailed, atau Exact Sig. untuk sampel kecil). Kalau di bawah 0,05, ada perbedaan signifikan. Langkahnya:

• Mann-Whitney: Analyze → Nonparametric Tests → Legacy Dialogs → 2 Independent Samples, lalu centang Mann-Whitney U.
• Wilcoxon: Analyze → Nonparametric Tests → Legacy Dialogs → 2 Related Samples, lalu pilih Wilcoxon.

Bereksperimen Sendiri

Geser kedua grup agar saling mendekat atau menjauh, lalu amati bagaimana peringkat bercampur dan nilai $U$ berubah — beserta keputusannya.

Coba ini:

1. Geser grup B ke atas sampai mulai bertindih dengan grup A, lalu lihat peringkat bercampur dan $U$ membesar.
2. Perhatikan saat $U$ melewati $U_\text{tabel}$ — keputusan berubah dari “berbeda” jadi “tidak berbeda”.
3. Pisahkan dua grup sejauh mungkin, lihat $U$ kembali ke 0 (bukti perbedaan paling kuat).

Menangani Nilai Kembar (Ties)

Sering ada dua data bernilai sama. Jangan beri keduanya peringkat berbeda secara sembarangan — beri peringkat rata-rata untuk posisi yang seri. Contoh: pada data terurut 4, 7, 7, 9 — dua angka 7 menempati posisi ke-2 dan ke-3, jadi keduanya mendapat $\frac{2+3}{2} = 2{,}5$:

Angka 4 tetap peringkat 1; dua angka 7 berbagi peringkat 2,5; angka 9 tetap mendapat peringkat 4 (posisinya tidak ikut bergeser). Pada Wilcoxon, prinsipnya sama untuk $|d_i|$ yang kembar — dan ingat, selisih nol dibuang lebih dulu sebelum memberi peringkat.

Pendamping Excel

/excel/mann-whitney-wilcoxon.xlsx berisi: data kedua grup, kolom peringkat hasil pengurutan gabungan, penjumlahan peringkat tiap grup ($R_A$, $R_B$) dengan rumus terlihat, perhitungan $U_A$, $U_B$, dan $U = \min$, perbandingan dengan $U_\text{tabel}$, keputusan otomatis, plus satu sheet prosedur Wilcoxon ($W^+$, $W^-$, $W$) dan sheet catatan langkah SPSS.

Cek Pemahaman

1. Dua kelompok bebas. Grup X ($n_1 = 3$): 10, 12, 14. Grup Y ($n_2 = 3$): 11, 13, 15. Hitung $U$ dari nol.

Lihat jawaban

Gabung dan urutkan: 10, 11, 12, 13, 14, 15 → peringkat 1, 2, 3, 4, 5, 6. Asal: X, Y, X, Y, X, Y.

Jumlah peringkat: $R_X = 1+3+5 = 9$, $R_Y = 2+4+6 = 12$. Cek: $9+12 = 21 = \frac{6 \times 7}{2}$. Cocok.

$U_X = n_1 n_2 + \frac{n_1(n_1+1)}{2} - R_X = 9 + \frac{3 \times 4}{2} - 9 = 9 + 6 - 9 = 6$.

$U_Y = n_1 n_2 - U_X = 9 - 6 = 3$.

$U = \min(6, 3) = 3$. (Peringkat dua grup bercampur rata, jadi $U$ besar — relatif terhadap maksimumnya $n_1 n_2 = 9$ — menandakan bukti perbedaan lemah.)

2. Sebuah penelitian mengukur waktu reaksi (milidetik) sebelum dan sesudah minum kopi pada 5 orang yang sama. Selisih (sesudah − sebelum) ternyata: −12, −8, −15, +3, −20. Uji mana yang dipakai, dan berapa $W$?

Lihat jawaban

Karena diukur pada orang yang sama dua kali (berpasangan), pakai Wilcoxon signed-rank — bukan Mann-Whitney.

$|d|$: 12, 8, 15, 3, 20 → peringkat 3, 2, 4, 1, 5. Tanda asal: −, −, −, +, −.

$W^+ = 1$ (hanya selisih +3). $W^- = 3+2+4+5 = 14$. Cek: $1 + 14 = 15 = \frac{5 \times 6}{2}$. Cocok.

$W = \min(1, 14) = 1$. Empat dari lima orang waktu reaksinya turun (membaik) — $W$ kecil menandakan bukti perubahan kuat. (Catatan transfer: di sini “membaik” justru berarti angka turun, karena waktu reaksi lebih kecil lebih baik. Selalu tafsirkan arah selisih sesuai konteks variabel, bukan sekadar “naik = bagus”.)

Kesalahan Umum

Salah memilih uji untuk struktur datanya. Mann-Whitney untuk dua kelompok subjek berbeda; Wilcoxon untuk dua pengukuran pada subjek sama. Memakai Mann-Whitney pada data sebelum–sesudah membuang informasi pasangan dan melemahkan uji.

Mengira nilai besar berarti signifikan. Kebalikan dari uji t. Pada Mann-Whitney dan Wilcoxon, statistik yang kecil menandakan perbedaan kuat — Anda tolak $H_0$ kalau $U$ atau $W \le$ nilai tabel.

Memberi peringkat per kelompok, bukan gabungan. Pada Mann-Whitney, peringkat dihitung setelah semua data digabung dan diurutkan bersama, bukan diranking sendiri-sendiri di tiap grup.

Salah menangani nilai kembar (ties). Nilai yang sama mendapat peringkat rata-rata posisinya (mis. dua nilai di posisi 2 dan 3 sama-sama 2,5). Pada Wilcoxon, selisih nol dibuang lebih dulu sebelum memberi peringkat.

Langsung pakai non-parametrik tanpa cek. Kalau data normal dan berskala interval, uji t lebih kuat (lebih sensitif menangkap perbedaan nyata). Beralih ke non-parametrik hanya saat normalitas gagal atau data memang ordinal — bukan sebagai jalan pintas menghindari uji asumsi.

Dipakai di Dunia Nyata

Skripsi dengan kuesioner Likert. Membandingkan skor kepuasan dua kelompok responden saat datanya ordinal dan tidak normal — kasus paling sering di FEB.

Eksperimen sebelum–sesudah sampel kecil. Menguji efek pelatihan atau intervensi pada satu kelompok dengan $n$ kecil, di mana Wilcoxon lebih aman daripada uji t berpasangan.

Data sosial dan ekonomi yang menceng. Pendapatan, lama menunggu layanan, atau jumlah keluhan sering bersebaran juling dan melanggar normalitas, sehingga Mann-Whitney menjadi pilihan yang jujur.

Uji klinis dan psikologi sampel terbatas. Saat jumlah subjek kecil dan normalitas sulit dijamin, uji peringkat memberi kesimpulan yang sahih tanpa mengarang asumsi.

Lanjutan

Mann-Whitney dan Wilcoxon membandingkan dua kelompok atau pengukuran. Untuk tiga atau lebih, perpanjangannya:

• Uji Kruskal-Wallis & Friedman — versi non-parametrik dari ANOVA, untuk tiga kelompok atau lebih.

Fondasi (uji parametrik yang digantikan di sini):

• Uji t Dua Sampel Independen
• Uji t Sampel Berpasangan
• Uji Normalitas (kapan harus beralih ke non-parametrik)

Reference

• Mann, H. B., & Whitney, D. R. (1947). “On a test of whether one of two random variables is stochastically larger than the other.” Annals of Mathematical Statistics, 18(1), 50–60.
• Wilcoxon, F. (1945). “Individual comparisons by ranking methods.” Biometrics Bulletin, 1(6), 80–83.
• Ghozali, I. (2018). Aplikasi Analisis Multivariate dengan Program IBM SPSS 25. Badan Penerbit Universitas Diponegoro.
• Sugiyono. (2019). Statistik Nonparametris untuk Penelitian. Alfabeta.