Uji Kruskal-Wallis & Friedman (Non-Parametrik k Sampel)

Anda mau membandingkan kepuasan pelanggan di tiga cabang. Datanya skala 1 sampai 5, jawaban dari kuesioner. Anda jalankan uji normalitas dulu — syarat wajib sebelum ANOVA — dan hasilnya gagal: sebarannya tidak normal. ANOVA satu arah bersandar pada syarat itu. Kalau dipaksakan, hasilnya jadi rapuh dan kesimpulannya bisa keliru.

Bukan jalan buntu. Ada keluarga uji yang tidak peduli pada bentuk sebaran data, karena yang dibandingkan bukan nilai mentah, melainkan peringkatnya. Dua anggota keluarga itu yang akan kita bahas: Kruskal-Wallis untuk kelompok yang saling bebas, dan Friedman untuk pengukuran berulang pada subjek yang sama.

Artikel ini menjelaskan keduanya dari nol: kenapa peringkat lebih tahan banting daripada nilai mentah, cara menghitung statistik $H$ dan chi-kuadrat Friedman langkah demi langkah, cara menangani nilai kembar, lalu cara membaca hasilnya di SPSS.

Kapan Dipakai

Kedua uji ini adalah versi non-parametrik untuk membandingkan tiga kelompok atau lebih. Kata “non-parametrik” artinya uji ini tidak mengandaikan data mengikuti sebaran tertentu (seperti sebaran normal berbentuk lonceng) — ia bekerja dari urutan data, bukan dari bentuknya. Pilihan antara keduanya tergantung desain data Anda.

• Kruskal-Wallis dipakai saat kelompoknya independen — saling bebas, respondennya berbeda di tiap kelompok. Ini padanan non-parametrik dari ANOVA satu arah. Contoh: kepuasan di cabang A, B, dan C, masing-masing diisi pelanggan yang berbeda.
• Friedman dipakai saat kelompoknya adalah kondisi berulang pada subjek yang sama (atau blok yang dipasangkan). Ini padanan non-parametrik dari ANOVA pengukuran berulang. Contoh: satu kelompok responden menilai tiga desain kemasan, jadi tiap orang memberi tiga skor.

Kapan memilih jalur peringkat ini? Ada tiga sinyal:

1. Uji normalitas gagal — Sig. Shapiro-Wilk < 0,05, artinya data menyimpang dari sebaran normal.
2. Datanya ordinal — skala Likert, peringkat, atau jenjang, di mana jarak antar-angka tidak benar-benar setara (selisih “setuju” ke “sangat setuju” belum tentu sama dengan selisih “netral” ke “setuju”).
3. Sampelnya kecil — sedikit responden, sehingga bentuk sebaran tidak bisa diandalkan untuk uji parametrik.

Kuncinya: kedua uji ini tidak peduli pada bentuk sebaran karena yang dibandingkan bukan nilai mentah, tapi peringkatnya.

Apa Itu Uji Berbasis Peringkat

Ide dasarnya sederhana. Ganti tiap nilai dengan posisi urutannya — dari yang terkecil (peringkat 1) sampai yang terbesar. Setelah itu, lupakan nilai aslinya; semua perhitungan jalan dari peringkat.

Kenapa ini “tahan banting”? Bayangkan dua nilai berurutan: 4,2 dan 4.000.000. Pada nilai mentah, yang kedua jutaan kali lebih besar dan bisa mendominasi rata-rata. Pada peringkat, keduanya cuma berselisih satu langkah: peringkat 1 dan peringkat 2. Satu pencilan (nilai ekstrem yang jauh dari lainnya) tidak bisa lagi menggelembungkan hasil seperti yang terjadi pada ANOVA. Itulah arti “tahan banting” di sini.

Setelah semua data diberi peringkat, kita jumlahkan peringkat di tiap kelompok. Logikanya begini: kalau ketiga kelompok benar-benar sama, peringkat tinggi dan rendah mestinya tersebar merata ke semua kelompok, sehingga jumlah peringkat tiap kelompok seimbang (setelah disesuaikan dengan ukuran kelompok). Sebaliknya, kalau satu kelompok isinya nilai-nilai tinggi, ia akan memborong peringkat-peringkat besar dan jumlah peringkatnya menonjol. Statistik uji mengukur seberapa jauh jumlah-jumlah peringkat itu menyimpang dari kondisi seimbang.

Intuisi: Yang Sama, Yang Beda dari ANOVA

Sebelum masuk rumus, lihat dulu apa yang sebetulnya diuji. ANOVA membandingkan dua sumber keragaman: keragaman antar-kelompok (seberapa jauh rata-rata kelompok saling berbeda) melawan keragaman dalam-kelompok (seberapa berserak data di dalam satu kelompok). Kalau jarak antar rata-rata jauh lebih besar daripada keberserakan di dalam kelompok, kita simpulkan kelompok-kelompok itu memang berbeda.

Kruskal-Wallis menjawab pertanyaan yang persis sama — apakah kelompok-kelompok ini berbeda? — tetapi mengganti bahan bakunya. Alih-alih membandingkan rata-rata nilai mentah, ia membandingkan jumlah peringkat antar-kelompok. Pencilan yang akan merusak rata-rata pada gambar di atas tidak lagi punya kuasa, karena nilai sebesar apa pun cuma menjadi “peringkat tertinggi”, satu langkah di atas tetangganya.

Rumus

Kruskal-Wallis (H)

Statistik Kruskal-Wallis dilambangkan $H$:

$$ H = \frac{12}{N(N+1)} \sum_{j=1}^{k} \frac{R_j^2}{n_j} - 3(N+1) $$

Penjelasan tiap lambang:

• $N$ = jumlah seluruh data dari semua kelompok digabung. Kalau tiga kelompok masing-masing berisi 3 data, $N = 9$.
• $k$ = banyaknya kelompok. Untuk tiga cabang, $k = 3$.
• $R_j$ = jumlah peringkat di kelompok ke-$j$. Misalnya peringkat di kelompok 1 adalah 1, 2, dan 3, maka $R_1 = 1 + 2 + 3 = 6$.
• $n_j$ = ukuran (banyak data) kelompok ke-$j$.
• $\sum_{j=1}^{k}$ artinya “jumlahkan suku ini untuk semua kelompok, dari kelompok ke-1 sampai ke-$k$”.
• Angka $12$ dan $3$ adalah konstanta baku yang sudah melekat dalam rumus ini — bukan sesuatu yang Anda hitung, melainkan bagian dari resepnya.

Nilai $H$ lalu dibandingkan dengan chi-kuadrat tabel ($\chi^2$, dibaca “ki-kuadrat”) pada derajat bebas $df = k - 1$.

Friedman ($\chi^2_F$)

Untuk Friedman, prinsipnya mirip tetapi peringkat dibuat di dalam tiap subjek/blok. Setiap orang menilai $k$ kondisi, dan di dalam baris orang itu sendiri, kondisi-kondisi diberi peringkat 1 sampai $k$. Peringkat tiap kondisi lalu dijumlahkan menyeberang semua subjek menjadi $R_j$:

$$ \chi^2_F = \frac{12}{n\,k(k+1)} \sum_{j=1}^{k} R_j^2 - 3n(k+1) $$

• $n$ = banyaknya subjek/blok (banyak baris).
• $k$ = banyaknya kondisi yang dibandingkan (banyak kolom).
• $R_j$ = jumlah peringkat untuk kondisi ke-$j$, dijumlahkan menyeberang semua subjek.

Derajat bebasnya juga $df = k - 1$. Beda kuncinya dengan Kruskal-Wallis: di Friedman, peringkat 1 sampai $k$ diberikan terpisah untuk tiap baris (tiap subjek), bukan satu daftar gabungan untuk semua data sekaligus. Inilah yang membuatnya cocok untuk pengukuran berulang — karena tiap orang dibandingkan dengan dirinya sendiri.

Contoh Hitung Manual

Kruskal-Wallis dari nol

Misal tiga kelompok, masing-masing 3 data, jadi $N = 9$. Datanya sengaja dibuat rapi dan sudah terurut, supaya peringkatnya persis sama dengan urutan kemunculannya (1 sampai 9). Ini mengisolasi mekanika rumus; menangani nilai kembar kita bahas tepat setelah ini.

Langkah 1 — jumlahkan peringkat tiap grup.

$$ R_1 = 1+2+3 = 6 \qquad R_2 = 4+5+6 = 15 \qquad R_3 = 7+8+9 = 24 $$

Sekadar pemeriksaan: total semua peringkat $= 6 + 15 + 24 = 45$, dan ini harus sama dengan $\tfrac{N(N+1)}{2} = \tfrac{9 \times 10}{2} = 45$. Cocok — pertanda peringkatnya benar.

Langkah 2 — hitung $R_j^2 / n_j$ tiap grup (di sini tiap $n_j = 3$):

$$ \frac{6^2}{3} = \frac{36}{3} = 12 \qquad \frac{15^2}{3} = \frac{225}{3} = 75 \qquad \frac{24^2}{3} = \frac{576}{3} = 192 $$

Jumlahnya: $12 + 75 + 192 = 279$.

Langkah 3 — hitung konstanta di depan. Dengan $N = 9$:

$$ \frac{12}{N(N+1)} = \frac{12}{9 \times 10} = \frac{12}{90} = 0{,}1333 $$

Langkah 4 — rangkai jadi $H$:

$$ H = 0{,}1333 \times 279 - 3 \times 10 = 37{,}2 - 30 = 7{,}2 $$

Statistik $H = 7{,}2$.

Menangani nilai kembar (ties)

Data nyata jarang serapi 1 sampai 9 — sering ada nilai kembar (sama persis), misalnya pada skala Likert di mana banyak orang menjawab “4”. Aturannya: nilai-nilai yang sama diberi rata-rata dari posisi-posisi yang seharusnya mereka tempati.

Contoh kecil agar jelas. Misal empat nilai: 5, 7, 7, 9.

• 5 adalah yang terkecil → peringkat 1.
• Dua angka 7 seharusnya menempati posisi 2 dan 3. Karena nilainya sama, keduanya diberi rata-rata posisi: $(2+3)/2 = $ 2,5.
• 9 adalah yang terbesar, menempati posisi terakhir → peringkat 4.

Jadi peringkatnya: 1, 2,5, 2,5, 4. Sisa perhitungan ($R_j$, $H$) jalan persis seperti biasa, hanya dengan peringkat pecahan ini. SPSS menerapkan ini otomatis, dan kalau nilai kembarnya banyak, ia juga memberi versi $H$ yang dikoreksi untuk ties (sedikit lebih besar dari $H$ biasa). Pada data dengan banyak nilai kembar, pakai angka terkoreksi dari output.

Friedman dari nol

Misal 3 subjek menilai 3 kondisi (A, B, C). Pada tiap subjek, ketiga kondisi diberi peringkat 1 (terendah) sampai 3 (tertinggi) — di dalam baris orang itu sendiri. Di contoh ini tiap subjek konsisten menilai A < B < C, jadi tiap baris peringkatnya 1, 2, 3:

Dengan $n = 3$ subjek dan $k = 3$ kondisi:

$$ \sum_{j=1}^{k} R_j^2 = 3^2 + 6^2 + 9^2 = 9 + 36 + 81 = 126 $$$$ \chi^2_F = \frac{12}{3 \times 3 \times 4} \times 126 - 3 \times 3 \times 4 = \frac{12}{36} \times 126 - 36 = 0{,}3333 \times 126 - 36 = 42 - 36 = 6{,}0 $$

Statistik $\chi^2_F = 6{,}0$.

Mengambil Keputusan

Bandingkan statistik uji dengan chi-kuadrat tabel pada $df = k - 1$. Untuk $k = 3$ kelompok, $df = 2$, dan nilai $\chi^2$-tabel pada taraf 5% adalah 5,991.

• Contoh Kruskal-Wallis: $H = 7{,}2 > 5{,}991$, jadi ada perbedaan signifikan antar ketiga kelompok. (Nilai-p padanannya $\approx 0{,}027$ — di bawah 0,05.)
• Contoh Friedman: $\chi^2_F = 6{,}0 > 5{,}991$, jadi ada perbedaan signifikan antar ketiga kondisi. (Nilai-p $\approx 0{,}050$ — tepat di ambang, jadi keputusan ini “menang tipis”.)

Satu hal penting yang sering luput: uji ini hanya memberi tahu ada perbedaan, bukan kelompok mana yang berbeda dari mana. $H$ atau $\chi^2_F$ yang signifikan ibarat alarm yang berbunyi tanpa menunjuk ruangan mana yang bermasalah. Untuk menelusuri pasangan mana yang berbeda, lanjutkan dengan uji lanjut (post-hoc), misalnya Mann-Whitney antar pasangan kelompok.

Langkah di SPSS

Jalur menunya:

• Kruskal-Wallis (kelompok bebas): Analyze → Nonparametric Tests → Legacy Dialogs → K Independent Samples, lalu centang Kruskal-Wallis H.
• Friedman (pengukuran berulang): Analyze → Nonparametric Tests → Legacy Dialogs → K Related Samples, lalu centang Friedman.

Output yang dibaca adalah baris Asymp. Sig. (signifikansi asimtotik, yaitu nilai-p). Kalau nilainya < 0,05, ada perbedaan signifikan. Anda tidak perlu lagi mencocokkan ke tabel chi-kuadrat secara manual — SPSS sudah menerjemahkan statistik uji menjadi nilai-p; perhitungan manual di atas hanya untuk memahami dari mana angka itu berasal.

Visualisasi Interaktif

Geser jumlah peringkat tiap grup dan amati bagaimana $H$ bergerak melewati garis ambang $\chi^2$-tabel 5,991.

Eksperimen:

1. Mulai dari default $R_1 = 6$, $R_2 = 15$, $R_3 = 24$, perhatikan $H = 7{,}2$ dan keputusan signifikan.
2. Geser ketiga jumlah peringkat saling mendekat (kelompok jadi mirip), lihat $H$ mengecil dan keputusan berubah menjadi tidak signifikan.
3. Tarik satu grup menjauh dari dua lainnya, lihat $H$ membesar melewati garis $\chi^2$-tabel 5,991.

Cek Pemahaman

1. Tiga kelompok, masing-masing 3 data, sudah terurut sehingga peringkatnya: Grup 1 = 1, 2, 4; Grup 2 = 3, 5, 7; Grup 3 = 6, 8, 9. Hitung $R_1$, $R_2$, $R_3$, lalu statistik $H$-nya. (Petunjuk: $N = 9$, jadi konstanta di depan tetap $0{,}1333$.)

Lihat jawaban

$R_1 = 1+2+4 = 7$, $R_2 = 3+5+7 = 15$, $R_3 = 6+8+9 = 23$. (Cek: $7+15+23 = 45 = \tfrac{9\times10}{2}$, benar.)

Suku $R_j^2/n_j$ dengan $n_j = 3$: $\tfrac{49}{3} = 16{,}33$; $\tfrac{225}{3} = 75$; $\tfrac{529}{3} = 176{,}33$. Jumlah $= 267{,}67$.

$$H = 0{,}1333 \times 267{,}67 - 3 \times 10 = 35{,}69 - 30 = 5{,}69$$

Karena $5{,}69 \le 5{,}991$, keputusannya tidak signifikan — belum cukup bukti adanya perbedaan antar kelompok.

2. Seorang mahasiswa membandingkan tiga metode pelatihan. Tiap metode diuji pada kelompok karyawan yang berbeda, datanya berupa skor 1 sampai 10, dan uji normalitas gagal (Sig. = 0,01). Uji apa yang tepat — Kruskal-Wallis atau Friedman? Dan kalau output SPSS-nya menunjukkan Asymp. Sig. = 0,002, apa kesimpulannya, serta langkah apa berikutnya?

Lihat jawaban

Karena tiap metode diuji pada kelompok karyawan yang berbeda (saling bebas), uji yang tepat adalah Kruskal-Wallis, bukan Friedman (Friedman dipakai kalau orang yang sama mencoba ketiga metode). Pemakaian uji peringkat sendiri sudah benar karena normalitas gagal.

Asymp. Sig. = 0,002 < 0,05, jadi ada perbedaan signifikan antar ketiga metode. Tetapi uji ini tidak memberi tahu metode mana yang unggul. Langkah berikutnya: uji lanjut (post-hoc), misalnya Mann-Whitney untuk tiap pasangan metode, untuk menemukan pasangan mana yang berbeda.

3. Pada data ujian, tiga nilai terkecil adalah 60, 72, 72. Berapa peringkat masing-masing?

Lihat jawaban

60 yang terkecil → peringkat 1. Dua angka 72 seharusnya menempati posisi 2 dan 3; karena kembar, keduanya diberi rata-rata: $(2+3)/2 = $ 2,5. Jadi peringkatnya 1, 2,5, dan 2,5.

Kesalahan Umum

Tertukar antara Kruskal-Wallis dan Friedman. Kruskal-Wallis untuk kelompok independen (responden beda tiap grup); Friedman untuk pengukuran berulang (subjek sama dinilai beberapa kali). Salah pilih berarti peringkat dibuat dengan cara yang keliru, dan seluruh hasil ikut salah.

Memberi peringkat dengan cara yang salah. Di Kruskal-Wallis, semua data digabung dulu baru diberi peringkat 1 sampai $N$. Di Friedman, peringkat dibuat per baris (di dalam tiap subjek), dari 1 sampai $k$. Tertukar arah pemeringkatan adalah kesalahan paling sering.

Memaksa pakai ANOVA padahal normalitas gagal. Kalau Sig. uji normalitas < 0,05, asumsi ANOVA runtuh dan hasilnya jadi rapuh. Pindah ke Kruskal-Wallis lebih jujur daripada memaksakan uji parametrik dan berpura-pura asumsinya terpenuhi.

Salah derajat bebas. Untuk kedua uji, $df = k - 1$ (banyak kelompok dikurangi satu), bukan dikaitkan dengan jumlah responden. Tiga kelompok selalu $df = 2$, berapa pun banyak respondennya.

Mengira uji ini menunjukkan kelompok mana yang berbeda. $H$ atau $\chi^2_F$ yang signifikan hanya bilang ada perbedaan, bukan di pasangan mana. Tanpa uji lanjut, Anda tahu ada yang berbeda tetapi tidak tahu siapa.

Lupa koreksi angka kembar. Kalau banyak nilai sama persis, gunakan peringkat rata-rata, dan ambil versi $H$ terkoreksi-ties dari output SPSS. Mengabaikannya membuat nilai uji sedikit meleset.

Dipakai di Dunia Nyata

• Skripsi dengan data ordinal. Membandingkan skor kepuasan (skala Likert) antar tiga cabang atau tiga segmen pelanggan, tanpa mengasumsikan sebaran normal — kasus paling lazim di skripsi manajemen pemasaran.
• Riset bisnis sebelum-sesudah berulang. Friedman cocok saat satu kelompok responden mencoba tiga produk atau tiga kemasan lalu menilai ketiganya — desain within-subject yang menghemat jumlah responden.
• Riset sosial dengan sampel kecil. Saat tiap kelompok hanya berisi sedikit responden sehingga bentuk sebaran tidak bisa dipercaya, uji berbasis peringkat lebih aman daripada ANOVA.
• Praktik kendali mutu & layanan. Membandingkan rating layanan beberapa gerai atau beberapa shift, di mana datanya berskala penilaian (bintang 1–5) dan jelas tidak normal.

Excel Companion

/excel/kruskal-wallis-friedman.xlsx berisi: data tiga kelompok dengan peringkat, perhitungan jumlah peringkat $R_j$ per kelompok, kolom $R_j^2/n_j$, konstanta $12/[N(N+1)]$, statistik $H$, perbandingan dengan $\chi^2$-tabel, dan keputusan. Ada sheet terpisah untuk contoh Friedman (peringkat per subjek, $R_j$, dan $\chi^2_F$), sheet langkah SPSS, dan sheet kesalahan umum. Semua sel inti memakai rumus elementer yang terlihat (SUM, pembagian, pangkat), bukan angka jadi.

⬇ Unduh kruskal-wallis-friedman.xlsx

Lanjutan

Setelah uji beda non-parametrik, langkah berikutnya adalah metode multivariat yang menguji hubungan antar banyak variabel sekaligus.

• Lanjut ke Pengantar SEM — kerangka untuk model dengan banyak variabel laten.

Fondasi dan uji pendamping:

• ANOVA Satu Arah — versi parametrik yang menjadi acuan Kruskal-Wallis.
• Uji Mann-Whitney & Wilcoxon — uji peringkat untuk dua kelompok, sekaligus uji lanjut (post-hoc) setelah Kruskal-Wallis.

Reference

• Kruskal, W.H. & Wallis, W.A. (1952), “Use of Ranks in One-Criterion Variance Analysis”
• Friedman, M. (1937), “The Use of Ranks to Avoid the Assumption of Normality”
• Ghozali, I. (2018), “Aplikasi Analisis Multivariate dengan Program SPSS”
• Sugiyono (2019), “Statistik untuk Penelitian”