Analisis Diskriminan (Discriminant Analysis)

Bank tempat Anda riset menyimpan dua tumpukan berkas nasabah: yang lancar membayar cicilan, dan yang akhirnya macet. Tumpukan itu dibuat dari data lama — setiap nasabah sudah jelas masuk yang mana. Lalu datang pengaju baru. Dari penghasilan dan lama kerjanya saja, sebelum kredit cair, bisakah Anda menebak dia akan berakhir di tumpukan mana?

Itu pertanyaan yang dijawab analisis diskriminan. Kelompoknya sudah ada dan sudah berlabel; tugas analisisnya menemukan aturan yang memisahkan kedua tumpukan sebaik mungkin, lalu memakai aturan itu untuk menempatkan orang baru ke salah satunya.

Intuisi: Mencari Arah yang Paling Memisahkan

Bayangkan tiap nasabah sebagai satu titik pada bidang dua sumbu: penghasilan mendatar, lama kerja tegak. Nasabah lancar menggumpal di satu daerah, nasabah macet di daerah lain — tetapi keduanya sebagian saling tumpang. Tidak ada satu sumbu pun (bukan penghasilan saja, bukan lama kerja saja) yang memisahkan keduanya dengan rapi.

Analisis diskriminan mencari arah baru — bukan mendatar, bukan tegak, melainkan miring — sedemikian rupa sehingga ketika semua titik “dijatuhkan” tegak lurus ke arah itu, kedua kelompok terlihat paling terpisah. Arah itulah fungsi diskriminan.

Begitu arah ditemukan, tiap titik dapat satu angka saja: seberapa jauh ia tergeletak di sepanjang arah miring itu. Angka itu disebut skor diskriminan ($Z$). Masalah dua dimensi yang ruwet menyusut jadi satu garis bilangan, dan klasifikasi tinggal soal “skor ini ada di sisi mana garis batas”.

Apa Itu Analisis Diskriminan

Secara formal, analisis diskriminan mencari kombinasi linear dari beberapa variabel prediktor yang paling memisahkan dua atau lebih kelompok yang sudah ditentukan. Kombinasi linear itu — sebuah penjumlahan berbobot dari prediktor — adalah fungsi diskriminan. Keluarannya satu skor per objek, dan dari skor itu objek ditempatkan ke salah satu kelompok.

Kuncinya, sekali lagi: kelompoknya sudah diketahui lebih dulu. Kita sudah tahu mana nasabah lancar dan mana yang macet, mana mahasiswa lulus tepat waktu dan mana yang tidak. Inilah yang membedakannya dari analisis kluster — di kluster, kelompok belum ada dan justru dicari dari data. Di diskriminan, kelompok adalah titik berangkat, bukan hasil.

Kapan Dipakai

Pakai analisis diskriminan saat variabel terikat berupa kategori kelompok (bukan angka), dan Anda punya beberapa prediktor numerik. Contoh:

• Lancar vs macet, dari penghasilan dan lama kerja.
• Lulus tepat waktu vs tidak, dari IPK dan jam belajar.
• Beli vs tidak beli, dari pendapatan dan frekuensi kunjungan.

Diskriminan vs Regresi Logistik

Tujuannya sama persis dengan regresi logistik: keduanya menebak keanggotaan kelompok. Bedanya pada asumsi — dan inilah yang menentukan mana yang Anda pakai.

Aturan praktisnya: kalau prediktor Anda kira-kira normal dan ragam antar kelompok mirip, diskriminan bekerja baik dan klasifikasinya rapi. Kalau ada prediktor kategorik, sebarannya jauh dari normal, atau ragam antar kelompok timpang, pilih regresi logistik yang asumsinya jauh lebih longgar. Dalam praktik riset sosial dan keuangan masa kini, regresi logistik lebih sering dipakai justru karena lebih tahan terhadap pelanggaran asumsi — tetapi memahami diskriminan tetap penting karena banyak skripsi terdahulu memakainya dan output SPSS-nya kerap muncul.

Rumus

Skor diskriminan

Skor diskriminan satu objek adalah penjumlahan berbobot prediktornya:

$$ Z = b_1 X_1 + b_2 X_2 + \dots $$

Tiap lambang, dijelaskan polos:

• $Z$ = skor diskriminan objek — satu angka yang merangkum posisi objek di sepanjang arah pemisah. Makin besar, makin condong ke kelompok berskor tinggi.
• $X_1, X_2, \dots$ = nilai variabel prediktor objek itu. Misalnya $X_1$ = penghasilan (juta rupiah), $X_2$ = lama kerja (tahun).
• $b_1, b_2, \dots$ = koefisien fungsi diskriminan — bobot tiap prediktor. Prediktor dengan bobot lebih besar lebih berperan memisahkan kelompok. Bobot ini dihitung software dari data, bukan dipilih sembarang.

Contoh: kalau $b_1 = 0{,}5$ dan $b_2 = 0{,}3$, lalu seorang nasabah punya $X_1 = 6$ dan $X_2 = 4$, maka $Z = 0{,}5 \times 6 + 0{,}3 \times 4 = 3{,}0 + 1{,}2 = 4{,}2$.

Titik potong dari centroid

Tiap objek dapat satu skor $Z$. Untuk memutuskan kelompoknya, kita butuh titik potong (cutoff) — garis pembatas pada garis bilangan skor. Lebih dulu kita hitung centroid tiap kelompok: rata-rata skor $Z$ seluruh anggota kelompok itu. Untuk dua kelompok berukuran sama, titik potong adalah rata-rata dua centroid:

$$ Z_{cut} = \frac{\bar{Z}_A + \bar{Z}_B}{2} $$

• $\bar{Z}_A$ = centroid kelompok A — rata-rata skor $Z$ semua anggota A. Contoh: kalau lima nasabah lancar berskor 5,8; 6,0; 5,0; 5,2; 3,0, maka $\bar{Z}_A = (5{,}8+6{,}0+5{,}0+5{,}2+3{,}0)/5 = 5{,}0$.
• $\bar{Z}_B$ = centroid kelompok B, dihitung dengan cara sama.
• $Z_{cut}$ = titik potong — angka di tengah-tengah dua centroid.

Aturan keputusan: objek masuk kelompok yang centroidnya lebih dekat ke skor $Z$-nya. Untuk dua kelompok, ini setara dengan membandingkan $Z$ objek dengan $Z_{cut}$ — di atas cutoff masuk kelompok berskor tinggi, di bawahnya masuk kelompok berskor rendah.

Catatan ukuran kelompok timpang. Rumus rata-rata sederhana di atas hanya sahih saat kedua kelompok kira-kira seukuran. Kalau satu kelompok jauh lebih besar, cutoff harus ditimbang proporsi tiap kelompok: $Z_{cut} = (n_A \bar{Z}_B + n_B \bar{Z}_A)/(n_A + n_B)$ (perhatikan: bobot tiap centroid adalah ukuran kelompok lawan). SPSS menanganinya otomatis lewat peluang prior.

Contoh Hitung dari Nol

Misalkan analisis sudah dijalankan dan software memberi fungsi diskriminan berikut, dengan $X_1$ = penghasilan (juta) dan $X_2$ = lama kerja (tahun):

$$ Z = 0{,}5\,X_1 + 0{,}3\,X_2 $$

Kita punya data lama sepuluh nasabah yang sudah berlabel. Hitung dulu skor tiap nasabah, lalu centroid tiap kelompok.

Kelompok Lancar (lima nasabah):

Centroid Lancar: $\bar{Z}_{\text{Lancar}} = (5{,}8 + 6{,}0 + 5{,}0 + 5{,}2 + 3{,}0)/5 = 25{,}0/5 = 5{,}0$.

Kelompok Macet (lima nasabah):

Centroid Macet: $\bar{Z}_{\text{Macet}} = (2{,}1 + 2{,}6 + 1{,}6 + 1{,}8 + 1{,}9)/5 = 10{,}0/5 = 2{,}0$.

Titik potong:

$$ Z_{cut} = \frac{\bar{Z}_{\text{Lancar}} + \bar{Z}_{\text{Macet}}}{2} = \frac{5{,}0 + 2{,}0}{2} = \frac{7{,}0}{2} = 3{,}5 $$

Mengklasifikasikan nasabah baru

Datang pengaju baru: $X_1 = 6$, $X_2 = 4$. Masuk kelompok mana?

Langkah 1 — hitung skor:

$$ Z = 0{,}5 \times 6 + 0{,}3 \times 4 = 3{,}0 + 1{,}2 = 4{,}2 $$

Langkah 2 — bandingkan dengan cutoff dan dua centroid. Skornya 4,2 berada di atas cutoff 3,5. Jaraknya ke centroid Lancar $|4{,}2 - 5{,}0| = 0{,}8$; jaraknya ke centroid Macet $|4{,}2 - 2{,}0| = 2{,}2$. Centroid Lancar jauh lebih dekat.

Keputusan: nasabah baru ini diklasifikasikan Lancar.

Seberapa akurat aturannya? Cek ke data lama

Aturan yang baik harus mampu menebak ulang kelompok nasabah lama yang sebenarnya sudah kita tahu. Kita jalankan tiap dari sepuluh nasabah lewat aturan “$Z > 3{,}5 \Rightarrow$ Lancar”:

Sembilan dari sepuluh tebakan cocok. Ketepatan klasifikasi = 9/10 = 90%. Satu salah: nasabah L5 sebenarnya lancar, tetapi penghasilannya rendah (3 juta) sehingga skornya 3,0 jatuh di bawah cutoff — aturan keliru menggolongkannya Macet. Inilah wajah nyata klasifikasi: jarang sempurna, ada saja kasus batas yang tertukar.

Mengambil Keputusan dari Output

Dua angka yang harus dibaca dari output: signifikansi fungsi dan ketepatan klasifikasi. Keduanya menjawab pertanyaan berbeda, dan keduanya perlu lolos.

Wilks’ Lambda — apakah fungsinya bermakna?

Signifikansi fungsi diuji dengan Wilks’ Lambda ($\Lambda$). Secara konsep, Lambda membandingkan sebaran skor di dalam kelompok dengan sebaran total:

$$ \Lambda = \frac{\text{ragam dalam kelompok}}{\text{ragam total}} $$

• Pembilang = seberapa berserak skor di dalam tiap kelompok (idealnya kecil — anggota satu kelompok berskor mirip).
• Penyebut = seberapa berserak semua skor digabung.
• $\Lambda$ selalu antara 0 dan 1. Makin kecil makin baik: kecil berarti hampir semua keragaman skor berasal dari beda antar kelompok, bukan dari keributan di dalam kelompok — artinya kelompok terpisah tajam.

Pada data contoh kita, $\Lambda \approx 0{,}22$: kira-kira 22% keragaman skor ada di dalam kelompok, sisanya (78%) memisahkan kedua kelompok — pemisahan yang kuat. Yang dibaca di output bukan nilai Lambda mentah, melainkan Sig.-nya:

Ketepatan klasifikasi — apakah fungsinya berguna?

Lambda signifikan baru menjamin pemisahan itu nyata secara statistik, belum tentu cukup tepat untuk dipakai. Karena itu lihat juga ketepatan klasifikasi: persentase objek yang ditebak ke kelompok benar — pada contoh kita 90%.

Bandingkan dengan tebakan acak. Untuk dua kelompok seimbang, menebak asal-asalan saja sudah benar 50%. Ketepatan 90% jauh di atas itu, jadi fungsi ini berguna. Kalau ketepatannya cuma 55%, fungsi nyaris tak lebih baik dari melempar koin — sekalipun Lambda-nya signifikan.

Membaca di SPSS

Jalankan Analyze → Classify → Discriminant. Baca tiga tabel:

• Canonical Discriminant Function Coefficients — koefisien $b_1, b_2, \dots$ untuk menyusun fungsi $Z$.
• Wilks’ Lambda — cek kolom Sig. ($< 0{,}05$).
• Classification Results — persen klasifikasi benar, tertera di catatan kaki tabel sebagai “% of grouped cases correctly classified”.

Jujur soal alat: koefisien $b_1, b_2$ dan centroid dihitung dari matriks kovarians antar kelompok, lewat aljabar matriks yang tidak praktis dikerjakan tangan. Estimasi koefisien diserahkan ke SPSS. Yang tetap bisa — dan harus — Anda lakukan manual, dan itulah inti pemahamannya, adalah memakai fungsi yang sudah jadi: menghitung skor $Z$, menentukan cutoff dari centroid, lalu memutuskan keanggotaan kelompok seperti pada contoh di atas.

Bereksperimen Sendiri

Geser $X_1$ dan $X_2$, amati skor $Z$ bergerak di garis bilangan relatif terhadap cutoff 3,5. Saat $Z$ menyeberang cutoff, klasifikasi berpindah antara Macet dan Lancar. Perhatikan posisi $Z$ terhadap dua centroid (2,0 dan 5,0): objek selalu masuk kelompok yang centroidnya lebih dekat.

Excel Companion

/excel/analisis-diskriminan.xlsx berisi: fungsi diskriminan dengan koefisien dan nilai prediktor satu objek, perhitungan skor $Z$ suku per suku dengan rumus terlihat, penentuan cutoff dari dua centroid, jarak ke tiap centroid, keputusan kelompok lewat IF, plus tabel sepuluh nasabah dengan ketepatan klasifikasi dan catatan langkah SPSS.

Cek Pemahaman

1. Fungsi diskriminan $Z = 0{,}4\,X_1 + 0{,}6\,X_2$. Centroid grup “Beli” = 6,0; centroid grup “Tidak” = 2,0. Seorang calon punya $X_1 = 5$, $X_2 = 5$. Hitung skornya, tentukan cutoff, lalu klasifikasikan.

Lihat jawaban

Skor: $Z = 0{,}4 \times 5 + 0{,}6 \times 5 = 2{,}0 + 3{,}0 = 5{,}0$. Cutoff: $Z_{cut} = (6{,}0 + 2{,}0)/2 = 4{,}0$. Karena $Z = 5{,}0 > 4{,}0$ dan jaraknya ke centroid Beli $|5{,}0-6{,}0| = 1{,}0$ lebih kecil daripada ke centroid Tidak $|5{,}0-2{,}0| = 3{,}0$, calon ini diklasifikasikan Beli.

2. Output SPSS sebuah skripsi: Wilks’ Lambda Sig. = 0,001, tetapi ketepatan klasifikasi 58% (dua kelompok seimbang). Apa kesimpulan yang tepat, dan apa yang sebaiknya dilakukan peneliti?

Lihat jawaban

Fungsi signifikan secara statistik (Sig. 0,001 < 0,05): pemisahan antar kelompok nyata, bukan kebetulan. Tetapi ketepatannya buruk — 58% nyaris sama dengan tebakan acak 50%, jadi fungsi ini hampir tak berguna untuk klasifikasi. Pelajarannya: signifikansi ≠ kegunaan. Peneliti sebaiknya menambah atau mengganti prediktor yang lebih memisahkan, memeriksa apakah asumsi normal/homogenitas ragam dilanggar (jika ya, pertimbangkan regresi logistik), dan tidak melaporkan fungsi ini sebagai alat prediksi yang andal.

3. (Transfer.) Seorang peneliti ingin menemukan segmen pelanggan dari data belanja, tanpa label kelompok apa pun di awal. Temannya menyarankan analisis diskriminan. Tepatkah saran itu? Kalau tidak, metode apa yang benar, dan apa beda intinya?

Lihat jawaban

Tidak tepat. Analisis diskriminan mensyaratkan kelompok yang sudah berlabel sejak awal — ia memisahkan kelompok yang sudah ada, bukan membuatnya. Karena peneliti justru ingin menemukan segmen dari data tanpa label, metode yang benar adalah analisis kluster. Beda intinya: di diskriminan, kelompok = masukan (titik berangkat); di kluster, kelompok = keluaran (hasil yang dicari).

Kesalahan Umum

Mengira kelompok belum diketahui. Diskriminan butuh kelompok yang sudah dilabeli sejak awal (lancar/macet). Kalau Anda justru mau menemukan kelompok dari data, itu analisis kluster, bukan diskriminan.

Mengabaikan asumsi normal dan homogenitas ragam. Kalau prediktor jauh dari normal atau ragam antar kelompok timpang (uji Box’s M signifikan), hasil diskriminan bias. Saat itu terjadi, beralih ke regresi logistik yang asumsinya longgar.

Salah menentukan cutoff. Untuk dua kelompok seukuran, cutoff = rata-rata dua centroid — bukan nol, bukan rata-rata semua skor. Kalau ukuran kelompok timpang, cutoff harus ditimbang proporsi tiap kelompok.

Menilai fungsi hanya dari satu angka. Wilks’ Lambda yang signifikan belum cukup; cek juga persen klasifikasi benar. Fungsi bisa signifikan secara statistik tetapi ketepatannya tetap rendah (lihat soal cek pemahaman nomor 2).

Memasukkan prediktor kategorik mentah. Variabel kategori (jenis kelamin, status) tidak cocok jadi prediktor diskriminan yang mengasumsikan numerik normal. Pakai prediktor numerik, atau pindah ke regresi logistik yang menerima prediktor kategorik.

Dipakai di Dunia Nyata

Skripsi prediksi keanggotaan kelompok. Menebak nasabah lancar/macet dari profil keuangan, atau mahasiswa lulus tepat waktu/tidak dari IPK dan jam belajar — kelompok sudah jelas dari data historis, prediktornya numerik.

Credit scoring di perbankan. Bank dan perusahaan pembiayaan menyaring pengaju kredit ke kelompok berisiko rendah vs tinggi sebelum menyetujui pinjaman. Model Altman Z-score untuk memprediksi kebangkrutan perusahaan adalah penerapan klasik analisis diskriminan.

Segmentasi berlabel di riset sosial. Mengelompokkan responden ke kategori yang ditentukan teori (mis. pemilih partai A vs B) dari variabel demografi dan sikap — dengan catatan kategorinya memang sudah diketahui untuk sampel pelatihan.

Lanjutan

Fondasi dan tetangga dekat:

• Regresi Logistik — alternatif berasumsi longgar untuk masalah klasifikasi yang sama; sering jadi pilihan utama saat asumsi diskriminan tak terpenuhi.
• Analisis Kluster — kebalikan diskriminan: menemukan kelompok yang belum berlabel.

Langkah berikutnya:

• Uji Endogeneitas (Hausman)

Reference

• Fisher, R.A. (1936), “The use of multiple measurements in taxonomic problems”, Annals of Eugenics, 7(2), 179–188.
• Hair, J.F., Black, W.C., Babin, B.J., & Anderson, R.E. (2019), Multivariate Data Analysis, 8th ed., Cengage.
• Ghozali, I. (2018), Aplikasi Analisis Multivariate dengan Program IBM SPSS 25, Badan Penerbit Universitas Diponegoro.