Duration & Convexity Obligasi — Mengukur Sensitivitas Bunga dari Nol

Sebuah manajer investasi pension fund di Jakarta memegang dua obligasi dengan nilai nominal sama-sama Rp 1 miliar. Yang pertama adalah Surat Utang Negara (SUN) 10 tahun bersuku bunga kupon 7% — aset paling likuid di pasar modal Indonesia. Yang kedua adalah obligasi korporasi BEI 5 tahun bersuku bungan 9%, diterbitkan oleh sebuah emiten blue chip. Pada suatu pagi, Bank Indonesia menaikkan suku bunga acuan 100 basis poin. Manajer itu membuka layar: nilai kedua obligasinya jatuh. Tapi tidak sama besarnya. SUN 10 tahun kehilangan sekitar 6,8% nilai pasarnya, sedangkan obligasi korporasi 5 tahun hanya jatuh sekitar 4,0%.

Mengapa? Kedua-duanya kena shock bunga yang sama persis. Jawaban naif — “karena SUN tenornya lebih panjang” — benar tetapi dangkal. Sebab sepuluh tahun vs lima tahun adalah perbedaan tenor, sementara kerentanan terhadap bunga adalah perbedaan durasi, dan dua hal itu tidak sama. Sebuah zero-coupon 10 tahun punya durasi 10 tahun; sebuah obligasi kupon 10 tahun punya durasi yang lebih pendek karena sebagian kas kembali lebih cepat dalam bentuk kupon periodik. Durasi, bukan tenor, adalah ukuran sensitivitas bunga yang sebenarnya — dan di baliknya ada satu lapis lagi yang disebut convexity, yang menjelaskan mengapa shock bunga simetris menghasilkan perubahan harga yang asimetris.

Artikel ini membangun kerangka duration–convexity dari nol. Kita hitung manual, periode demi periode, untuk dua obligasi Indonesia yang sama. Setiap angka di artikel bisa Anda reproduksi dan ubah di workbook Excel pendamping, yang menghitung ulang seluruh metrik saat satu sel input diubah.

Intuisi: Mengapa Tenor Belum Cukup

Harga obligasi adalah present value seluruh arus kas yang akan ia bayar — kupon periodik dan pokok di jatuh tempo — didiskontokan dengan yield to maturity (YTM):

$$\boxed{P = \sum_{t=1}^{N} \frac{CF_t}{(1+y)^t}}$$

Karena $(1+y)^t$ ada di penyebut, kenaikan $y$ menurunkan harga — itulah hubungan terbalik klasik antara bunga dan harga obligasi. Tapi seberapa besar? Banyak pemula menjawab “tergantung tenor” dan berhenti di situ. Itu tidak salah, tetapi tidak lengkap.

Bayangkan dua obligasi sama-sama berjatuhs tempo 10 tahun. Yang satu zero-coupon (membayar pokok saja di tahun ke-10), yang lain kupon 12% (membayar kupon besar tiap tahun). Zero-coupon menahan seluruh kas sampai akhir — sensitivitas maksimum terhadap diskonto. Obligasi kupon tinggi mengembalikan sebagian besar nilai lebih cepat melalui kupon, sehingga efek perubahan yield lebih kecil. Tenor sama, sensitivitas berbeda. Untuk menangkap perbedaan itu kita butuh durasi — sebuah ringkasan satu-angka yang menjawab: berapa waktu rata-rata tertimbang sampai pemegang obligasi menerima kembali kasnya, dengan bobot adalah present value tiap arus kas.

Tapi durasi punya keterbatasan yang penting: ia hanyaproksimasi linear dari hubungan price-yield. Pada kenyataannya, hubungan itu cembung (convex) — mirip kurva, bukan garis lurus. Untuk shock bunga kecil, aproksimasi linear nyaris sempurna. Untuk shock besar (misalnya 200 basis poin), garis lurus meleset jauh, dan di sinilah convexity masuk sebagai koreksi suku kedua.

Macaulay Duration: Waktu Rata-rata Tertimbang Kas

Frederick Macaulay memperkenalkan konsep ini tahun 1938 dengan ide sederhana: boboti setiap arus kas dengan present valuenya, lalu hitung waktu rata-ratanya.

$$\boxed{D_{mac} = \frac{\displaystyle\sum_{t=1}^{N} t \cdot PV(CF_t)}{P} = \frac{\displaystyle\sum_{t=1}^{N} \frac{t \cdot CF_t}{(1+y)^t}}{\displaystyle\sum_{t=1}^{N} \frac{CF_t}{(1+y)^t}}}$$

Penyebut adalah harga obligasi $P$ sendiri. Pembilang adalah penjumlahan $t \times PV$ untuk setiap periode. Hasilnya, $D_{mac}$, adalah dalam satuan periode. Untuk obligasi semiannual, satu periode = enam bulan, sehingga durasi dalam tahun = $D_{mac} / 2$.

Sifat-sifat penting Macaulay duration yang harus diingat:

1. $D_{mac} \leq$ tenor selalu, dengan kesetaraan hanya untuk zero-coupon. Setiap kupon periodik “menarik” durasi ke depan karena kas kembali lebih awal.
2. Kupon makin tinggi → durasi makin pendek, karena kupon besar mengembalikan nilai lebih cepat.
3. Yield makin tinggi → durasi makin pendek, karena PV arus kas jauh-jauh (tenor akhir) mengecil lebih cepat dibanding PV arus kas dekat.
4. Tenor makin panjang → durasi makin panjang, tetapi dengan laju yang melambat — durasi obligasi 30 tahun bukan 3× durasi obligasi 10 tahun.

Hitung manual untuk SUN 10 tahun

Mari kerjakan. Asumsi: SUN 10 tahun, kupon tahunan 7% dibayar semiannual (Rp 35 per Rp 1.000 nominal per periode), nilai nominal Rp 1.000, YTM 7% (sehingga harga = par). Maka yield per periode $y = 7\%/2 = 3{,}5\%$, dan ada $N = 20$ periode.

Kita bangun tabelnya periode demi periode. Untuk ringkas, hanya tampilan awal, akhir, dan total ditampilkan — seluruh 20 baris ada di workbook Excel.

Dari tabel, tiga angka kunci muncul:

• Harga $P = \Sigma PV = \mathbf{Rp \, 1.000{,}00}$ (par, karena kupon = yield).
• Macaulay (periode) $= \Sigma t \cdot PV / P = 14.709{,}84 / 1.000 = \mathbf{14{,}71}$ periode.
• Macaulay (tahun) $= 14{,}71 / 2 = \mathbf{7{,}35}$ tahun.

Jadi, walau tenor SUN 10 tahun, durasi Macaulay-nya hanya 7,35 tahun — hampir 27% lebih pendek dari tenor. Itu efek kupon: setengah dari nilai obligasi “kembali” rata-rata dalam 7,35 tahun pertama, karena kupon periodik membayar kas lebih awal. Bandingkan dengan zero-coupon 10 tahun yang durasinya tepat 10 tahun — itulah mengapa zero-coupon adalah instrumen paling volatil di pasar obligasi.

Kolom paling kanan — $t(t+1) \cdot PV$ — belum kita pakai di sini, tetapi simpan; ia akan menjadi bahan convexity nanti.

Hitung untuk obligasi korporasi BEI 5 tahun

Sekarang obligasi korporasi: kupon tahunan 9% (Rp 45 per periode), nilai nominal Rp 1.000, tenor 5 tahun, YTM 8%. Yield per periode $y = 8\%/2 = 4\%$, $N = 10$.

• Harga $P = \mathbf{Rp \, 1.040{,}55}$ — premium 4,05% di atas par, karena kupon (9%) > yield (8%).
• Macaulay (periode) $= 8.645{,}29 / 1.040{,}55 = 8{,}31$.
• Macaulay (tahun) $= 8{,}31 / 2 = \mathbf{4{,}15}$ tahun.

Sekali lagi, durasi (4,15 tahun) lebih pendek dari tenor (5 tahun), tetapi selisihnya kecil — hanya 17%. Sebab kuponnya 9% relatif tinggi sehingga kupon periodik menyumbang besar pada nilai. Pelajaran komparatif: SUN 10 tahun punya durasi 1,77 kali korporasi 5 tahun (7,35 vs 4,15). Jangan kira ini 2× — efek kupon SUN yang lebih rendah dan yield yang lebih rendah ikut menarik durasi.

Modified Duration: Aproksimasi Linear

Macaulay duration adalah konsep yang indah secara intuitif (waktu rata-rata kas), tetapi untuk memprediksi perubahan harga kita perlu versi yang siap pakai: modified duration.

$$\boxed{D_{mod} = \frac{D_{mac}}{1+y}}$$

di mana $y$ adalah yield per periode pada basis yang sama dengan $D_{mac}$. Karena $D_{mac}$ di atas sudah dikonversi ke tahun, dan $y$ adalah yield tahunan… tunggu — di sinilah banyak pemula tergelincir. Aturan konsistensi: jika $D_{mac}$ dalam tahun, maka $y$ harus yield tahunan; jika $D_{mac}$ dalam periode (semiannual), maka $y$ harus yield per periode. Hasil $D_{mod}$ akan sama dalam satuan tahun bila dilakukan dengan benar. Praktik paling aman: kerjakan semuanya dalam periode, lalu bagi frekuensi di akhir.

Mari kita kerjakan dalam periode untuk SUN 10 tahun: $D_{mac}^{periode} = 14{,}71$, $y^{periode} = 3{,}5\%$.

$$D_{mod}^{periode} = \frac{14{,}71}{1{,}035} = 14{,}213 \text{ periode}$$

Konversi ke tahun: $14{,}213 / 2 = \mathbf{7{,}11}$ tahun. Sekarang coba versi tahunan: $D_{mac}^{tahun} = 7{,}35$, $y^{tahun} = 7\%$. $\frac{7{,}35}{1{,}07} = 6{,}87$ tahun. Tidak sama! Mengapa? Karena pembagian $(1+y)$ dua kali (sekali per periode, lalu frekuensi) tidak setara dengan pembagian sekali dengan yield tahunan — efek compounding semiannual ikut main. Pelajaran: untuk obligasi semiannual, selalu kerjakan dalam periode lalu konversi di akhir. $D_{mod} = 7{,}11$ tahun adalah angka yang benar.

Untuk korporasi 5 tahun: $D_{mod}^{periode} = 8{,}31 / 1{,}04 = 7{,}99$ periode → $7{,}99 / 2 = \mathbf{3{,}99}$ tahun.

Sekarang gunakan $D_{mod}$ untuk memprediksi %ΔP:

$$\boxed{\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y}$$

Tanda negatif penting: kenaikan yield ($\Delta y > 0$) menurunkan harga. Untuk SUN 10 tahun dengan shock +100 bp ($\Delta y = 0{,}01$):

$$\frac{\Delta P}{P} \approx -7{,}11 \times 0{,}01 = -7{,}11\%$$

Harga baru diperkirakan $1.000 \times (1 - 0{,}0711) = Rp \, 928{,}90$. Tapi — dan ini penting — jika kita repricing penuh obligasi pada yield 8%, kita dapat harga sebenarnya Rp 932,05. Aproksimasi linear meleset sekitar Rp 3,15 per Rp 1.000 nominal. Tidak besar untuk shock 100 bp, tetapi error ini tumbuh kuadratik terhadap ukuran shock — dan di sinilah convexity masuk.

Convexity: Koreksi Suku Kedua

Mengapa aproksimasi linear meleset? Karena hubungan price-yield bukan garis lurus — ia adalah kurva cembung ke arah origin. Modified duration mengambil turunan pertama (kemiringan kurva di satu titik); convexity mengambil turunan kedua (kelengkungan).

Rumus convexity dalam bentuk yang siap dihitung dari tabel yang sama (kolom $t(t+1) \cdot PV$ yang sudah kita bangun):

$$\boxed{C = \frac{\displaystyle\sum_{t=1}^{N} \frac{t(t+1) \cdot CF_t}{(1+y)^t}}{P \cdot (1+y)^2}}$$

Sekali lagi, hasil dalam satuan periode². Konversi ke tahun²: bagi dengan frekuensi² ($2^2 = 4$ untuk semiannual).

Dari tabel SUN 10 tahun di atas, $\Sigma \, t(t+1) \cdot PV = 275.518{,}17$. Maka:

$$C^{periode} = \frac{275.518{,}17}{1.000 \times (1{,}035)^2} = \frac{275.518{,}17}{1.071{,}225} = 257{,}20 \text{ periode}^2$$$$C^{tahun} = \frac{257{,}20}{4} = \mathbf{64{,}30} \text{ tahun}^2$$

Untuk korporasi 5 tahun, dari perhitungan yang sama: $C^{tahun} = \mathbf{19{,}76}$. Perhatikan rasio: convexity SUN 10 tahun 3,25 kali korporasi 5 tahun — lebih besar daripada rasio durasi (1,77×). Inilah intuisi penting: convexity tumbuh lebih cepat daripada durasi terhadap tenor, kira-kira kuadratik. Obligasi jangka panjang tidak hanya lebih sensitif (durasi tinggi), tetapi juga lebih “berbentuk kurva” (convexity tinggi). Untuk obligasi 30 tahun, convexity melonjak ke ratusan — implikasinya signifikan bagi manajemen portofolio jangka panjang.

Aproksimasi Dua-Suku: Linear + Convexity

Sekarang gabungkan keduanya menjadi aproksimasi Taylor ekspansi orde-2:

$$\boxed{\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y + \frac{1}{2} C \cdot (\Delta y)^2}$$

Suku pertama (duration) selalu bertanda berlawanan dengan $\Delta y$ — kenaikan yield menurunkan harga. Suku kedua (convexity) selalu positif untuk obligasi biasa (non-puttable, non-callable), karena $(\Delta y)^2 > 0$. Artinya convexity selalu menguntungkan pemegang obligasi: saat yield naik, convexity mengurangi kerugian; saat yield turun, convexity menambah keuntungan. Inilah mengapa obligasi dengan convexity tinggi (jangka panjang, yield rendah) didiskon lebih mahal di pasar — pemegang membayar premium untuk “opsi convexity” gratis ini.

Terapkan untuk shock +100 bp pada SUN 10 tahun:

$$\frac{\Delta P}{P} \approx -7{,}11 \times 0{,}01 + \frac{1}{2} \times 64{,}30 \times (0{,}01)^2 = -0{,}0711 + 0{,}003215 = \mathbf{-0{,}0678} \text{ atau } -6{,}78\%$$

Harga diperkirakan $1.000 \times (1 - 0{,}0678) = Rp \, 932{,}16$. Harga sebenarnya (repricing penuh) adalah Rp 932,05. Aproksimasi dua-suku meleset hanya Rp 0,11 — sementara aproksimasi linear meleset Rp 3,15. Untuk shock 100 bp, convexity menahan 32 basis poin dari kerugian yang diprediksi modified duration saja.

Asimetri convexity: keindahan matematis

Shock +200 bp pada SUN 10 tahun:

• Linear: $-7{,}11 \times 0{,}02 = -14{,}21\%$ → harga $Rp \, 857{,}88$.
• Dur + Conv: $-7{,}11 \times 0{,}02 + \frac{1}{2} \times 64{,}30 \times 0{,}0004 = -0{,}1421 + 0{,}0129 = -12{,}93\%$ → harga $Rp \, 870{,}74$.
• Harga sebenarnya (reprice ke YTM 9%): $Rp \, 869{,}92$.

Linear meleset hampir Rp 12; dur+convexity meleset hanya Rp 0,82. Untuk shock −200 bp (yield turun ke 5%):

• Linear: $-7{,}11 \times (-0{,}02) = +14{,}21\%$ → harga $Rp \, 1.142{,}12$.
• Dur + Conv: $+0{,}1421 + 0{,}0129 = +15{,}50\%$ → harga $Rp \, 1.154{,}98$.
• Harga sebenarnya (reprice ke YTM 5%): $Rp \, 1.155{,}89$.

Perhatikan asimetri fundamental: shock +200 bp menurunkan harga sekitar 13,0%, tetapi shock −200 bp yang simetris menaikkan harga sekitar 15,6%. Naiknya lebih besar daripada turunnya. Inilah kado convexity: di lapis paling dasar, obligasi memberi pemegangnya asymmetric payoff terhadap pergerakan bunga — karena kurva price-yield cembung. Implikasi portofolio: dalam lingkungan bunga yang sangat volatil, pemegang obligasi jangka panjang dengan convexity tinggi mendapat edge struktural yang tidak tertangkap modified duration saja.

Perbandingan Dua Obligasi Side-by-Side

Tarik semua metrik berdampingan untuk konteks:

Tiga pelajaran dari tabel:

1. Tenor mendominasi durasi. SUN 10Y punya durasi 1,77× korporasi 5Y, walau yield dan kupon tidak jauh berbeda. Untuk shock bunga yang sama, kerugian SUN hampir dua kali lipat korporasi.
2. Kupon menarik durasi ke depan. Korporasi 5Y dengan kupon 9% punya durasi 4,15 tahun vs tenor 5 tahun — selisih 17% — karena kupon tinggi mengembalikan kas lebih cepat. Kalau kuponnya 0% (zero), durasi korporasi 5Y akan tepat 5 tahun.
3. Convexity tumbuh lebih cepat dari durasi. Rasio convexity (3,25×) lebih besar dari rasio durasi (1,77×). Untuk strategi lindung-nilai (hedging), convexity matching sering lebih sulit daripada duration matching.

PVBP (price value of a basis point) adalah turunan praktis: berapa rupiah harga berubah per 1 basis poin. PVBP $= D_{mod} \times P \times 0{,}0001$. Untuk SUN: $7{,}11 \times 1.000 \times 0{,}0001 = Rp \, 0{,}71$ per Rp 1.000 nominal. Untuk korporasi: $3{,}99 \times 1.040{,}55 \times 0{,}0001 = Rp \, 0{,}42$. Trader desk SUN mengukur risiko dalam DV01 (dollar value of 01) — konsep yang sama, untuk nilai posisi penuh.

Curve Price-Yield: Visualisasi Konveksitas

Tabel aproksimasi di atas memberi gambaran titik-demi-titik, tetapi convexity paling jelas terlihat dengan menggambar kurva price-yield penuh. Untuk SUN 10 tahun, harga pada rentang YTM 3%–12%:

Gambarkan kedua kolom sebagai fungsi yield — keduanya kurva cembung ke atas, bukan garis lurus. Kurva SUN lebih landai daripada korporasi karena convexity-nya lebih besar. Di yield sangat rendah (3%), kurva SUN melengkung tajam ke atas (harga naik lebih dari proporsional); di yield sangat tinggi (12%), kurva menyatu ke arah PV arus kas kupon saja (pokok didiskonto berat).

Catatan presisi. Harga di tabel di atas dihitung dengan repricing penuh — diskonto semiannual tiap arus kas dari awal. Workbook Excel pendamping memakai rumus yang persis sama (PRICE_YIELD sheet), sehingga bila Anda mengubah kupon atau tenor di sheet input, seluruh kurva menghitung ulang secara live.

Mengapa Convexity Penting dalam Praktik

Banyak pelaku pasar berhenti di modified duration dan mengabaikan convexity. Tiga situasi di mana keputusan itu mahal:

Hedging portofolio besar. Sebuah asset manager yang ingin melindungi portofolio Rp 10 triliun dari kenaikan bunga biasanya menjual futures obligasi. Jumlah yang dijual ditentukan oleh duration matching: nilai futures × durasi futures = nilai portofolio × durasi portofolio. Tapi kalau convexity portofolio dan futures berbeda, hedge akan membocor saat bunga bergerak besar. Hedge yang perfect pada +50 bp bisa kehilangan Rp 5 miliar pada +200 bp — itu uang yang hilang karena convexity mismatch. Praktisi serius melakukan convexity matching tambahan, biasanya dengan opsi atau kombinasi futures berbeda tenor.

Strategi barbell vs bullet. Portofolio barbell (kombinasi obligasi jangka pendek + jangka panjang dengan durasi sama) punya convexity lebih tinggi daripada bullet (satu obligasi jangka menengah dengan durasi sama). Karena convexity menguntungkan pemegang, barbell biasanya memberi return sedikit lebih tinggi dalam lingkungan volatil — dengan biaya kompleksitas operasional. Strategi ini adalah aplikasi langsung convexity di portfolio management.

Obligasi callable. Obligasi yang dapat ditebus penerbit (callable) punya negative convexity di yield rendah — kurva price-yield melengkung ke arah berlawanan. Sebab saat yield turun, penerbit mungkin memanggil obligasi (refinance lebih murah), sehingga harga “tertahan” di par. Pemegang obligasi callable sebenarnya menjual opsi kepada penerbit, dan convexity negatif adalah kompensasi matematis. Ini pelajaran: convexity positif bukan gratis — di pasar yang efisien, Anda membayar untuknya melalui yield yang lebih rendah.

Jebakan Klasik

Empat kesalahan paling umum yang harus diwaspadai:

Mencampur satuan periode vs tahunan. Ini dosa nomor satu saat menghitung manual. $D_{mod}$ dalam periode harus dibagi $(1 + y^{periode})$; $D_{mod}$ dalam tahun harus dibagi $(1 + y^{tahunan})$. Mencampur menghasilkan angka yang sistematis salah. Aturan praktis: kerjakan dalam periode untuk akurasi, konversi ke tahun di akhir. Workbook Excel pendamping melakukan persis ini — semua kalkulasi di OBLIGASI_A dan OBLIGASI_B memakai basis per periode, dengan konversi tahun eksplisit di baris Macaulay dur. (tahun).

Menganggap durasi = tenor. Hanya zero-coupon yang memenuhi ini. Untuk obligasi kupon, durasi selalu kurang dari tenor, dan selisihnya tumbuh dengan tinggi kupon dan yield. Seorang analis yang menyamakan “obligasi 10 tahun” dengan “durasi 10 tahun” akan melebih-lebihkan sensitivitas bunga sekitar 25-35%.

Mengabaikan convexity untuk shock besar. Aproksimasi linear akurat untuk shock ±25-50 bp, tetapi error tumbuh kuadratik. Untuk shock ±200 bp, linear bisa meleset 100+ basis poin dari harga sebenarnya. Di lingkungan krisis (mis. pandemi 2020 saat yield SUN bergerak ratusan bp dalam hitungan minggu), convexity menentukan selisih untung-rugi yang material.

Mengasumsikan convexity selalu positif. Untuk obligasi biasa (non-callable), ya. Tapi obligasi callable, puttable, atau dengan fitur tertanam (embedded options) bisa punya convexity negatif atau bahkan convexity yang berubah tanda. Selalu periksa option features sebelum menerapkan rumus convexity standar. Untuk SUN dan obligasi korporasi BEI standar tanpa opsi, convexity positif berlaku.

Bereksperimen Sendiri

Workbook Excel pendamping artikel ini menghitung seluruh kerangka dengan formula hidup — ubah satu sel input, semua metrik menghitung ulang. Enam sheet:

1. PETUNJUK — alur kerja 5-langkah, legenda warna, angka kunci base case, dan tiga eksperimen yang direkomendasikan.
2. OBLIGASI_A — SUN 10 tahun penuh: input (kupon, yield, face, tenor, frekuensi), tabel per-periode (20 baris) untuk $PV$, $t \cdot PV$, $t(t+1) \cdot PV$, dan output: harga, Macaulay (periode & tahun), modified duration, convexity (periode² & tahun²), PVBP.
3. OBLIGASI_B — Obligasi korporasi BEI 5 tahun dengan struktur sheet yang sama.
4. DURATION_CONVEXITY — rumus induk + perbandingan dua obligasi side-by-side, plus rasio durasi/convexity dan aproksimasi shock +100 bp.
5. PRICE_YIELD — tabel price-yield curve (yield 3%–12%) untuk dua obligasi, dengan grafik scatter memvisualisasikan kurva cembung.
6. APPROX_PERUBAHAN — untuk shock Δy dari −200 bp sampai +300 bp, membandingkan tiga aproksimasi: linear (−D·Δy), duration+convexity (dua-suku), dan harga sebenarnya (repricing penuh), lengkap dengan kolom error.

Empat eksperimen yang direkomendasikan:

• Eksperimen “zero-coupon” — di OBLIGASI_A, set kupon = 0%. Perhatikan Macaulay duration menjadi tepat 10 tahun (= tenor). Inilah batas atas sensitivitas bunga untuk tenor tertentu.
• Eksperimen “tenor panjang” — di OBLIGASI_B, ubah tenor ke 30 tahun. Durasi melonjak dan convexity melonjak jauh lebih besar proporsionalnya — mengapa obligasi 30 tahun adalah “dinamit” bagi portofolio.
• Eksperimen “shock simetris” — di APPROX_PERUBAHAN, bandingkan shock −200 bp dengan shock +200 bp pada SUN 10Y. Linear memberi angka simetris (−14,21% vs +14,21%), tetapi dur+convexity dan harga sebenarnya asimetris — convexity memberi kado asimetri yang menguntungkan.
• Eksperimen “yield effect” — di OBLIGASI_A, ubah yield dari 7% ke 3%. Harga naik ke Rp 1.428, durasi juga berubah (naik), dan convexity naik tajam. Mengapa yield rendah = durasi tinggi = convexity tinggi.

⬇ Unduh duration-convexity-template.xlsx

Rumus Inti (Rangkuman)

Enam persamaan yang membentuk kerangka duration–convexity:

1. Harga obligasi:

$$P = \sum_{t=1}^{N} \frac{CF_t}{(1+y)^t}$$

2. Macaulay duration:

$$D_{mac} = \frac{\sum_{t=1}^{N} t \cdot PV(CF_t)}{P}$$

3. Modified duration:

$$D_{mod} = \frac{D_{mac}}{1+y}$$

4. Convexity:

$$C = \frac{\sum_{t=1}^{N} t(t+1) \cdot PV(CF_t)}{P \cdot (1+y)^2}$$

5. Aproksimasi perubahan harga — linear:

$$\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y$$

6. Aproksimasi perubahan harga — duration + convexity:

$$\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y + \frac{1}{2} C \cdot (\Delta y)^2$$

Dipakai di Dunia Nyata

• Treasury desk bank dan dealer. Trader SUN di bank domestik mengukur eksposur bunga portofolio dalam DV01 (Rp per 1 bp) dan mengatur limit berdasarkan modified duration agregat. Hedging harian dengan repos atau futures didasarkan pada angka-angka ini.
• Manajer dana pensiun (DPLK/DPL). Aset tetap (obligasi) harus mencocokkan kewajiban (liability) jangka panjang. Asset-liability management (ALM) memakai duration dan convexity aset vs kewajiban untuk memastikan solvensi — bukan hanya return.
• Bank syariah. Sukuk Ijarah dan sukuk Mudharabah punya profil price-yield yang serupa dengan obligasi konvensional; durasi dan convexity dipakai untuk mengukur risiko rate di portofolio treasury bank syariah.
• Perusahaan dengan utang obligasi. CFO yang mempertimbangkan refinancing obligasi korporasi BEI akan membandingkan convexity obligasi existing vs calon penerbitan baru — kalau convexity baru jauh lebih tinggi, perusahaan mengambil risiko rate yang lebih besar tanpa kompensasi yield yang cukup.
• Regulator pasar modal. OJK dan Bursa Efek Indonesia memakai duration sebagai metrik risiko untuk klasifikasi produk reksa dana pendapatan tetap — durasi tinggi wajib didisklosure karena volatilitas NAV yang lebih besar.

Keterkaitan dengan Konsep Keuangan Lain

Duration–convexity berdiri di atas beberapa konsep fondasi dan terhubung ke beberapa topik lanjutan:

• Time Value of Money — akar matematis: present value, faktor diskonto, dan konvensi compounding (semiannual vs tahunan) yang menentukan presisi perhitungan durasi.
• WACC — secara struktural paralel: keduanya adalah ringkasan satu-angka dari distribusi waktu arus kas. WACC adalah “biaya rata-rata tertimbang modal”; durasi adalah “waktu rata-rata tertimbang kas”.
• CAPM dan Cost of Equity — CAPM memberikan expected return yang menjadi dasar YTM saham (untuk obligasi konversi) dan benchmark spread kredit.
• Sensitivity & Scenario Analysis — tabel shock yield di artikel ini adalah aplikasi langsung analisis satu-variabel; duration dan convexity adalah “turunan” formal dari fungsi respons tersebut.
• Option Pricing — Black-Scholes — convexity adalah “opsi gratis” bagi pemegang obligasi; untuk obligasi callable, convexity negatif muncul karena pemegang menjual opsi call kepada penerbit. Hubungan duration–convexity dengan Greeks (delta, gamma) kuat secara matematis.

Cek Pemahaman

1. Sebuah obligasi 8 tahun, kupon tahunan 6% dibayar semiannual, nilai nominal Rp 1.000, YTM 7%. (a) Berapa yield per periode dan jumlah periode? (b) Jika Macaulay duration-nya (dalam periode) adalah 12,5, berapa modified duration dalam tahun?

Lihat jawaban

(a) Yield per periode $= 7\% / 2 = 3{,}5\%$. Jumlah periode $N = 8 \times 2 = 16$.

(b) Modified duration dalam periode: $D_{mod}^{periode} = 12{,}5 / 1{,}035 = 12{,}076$ periode. Konversi ke tahun: $12{,}076 / 2 = \mathbf{6{,}04}$ tahun.

Jangan pernah lakukan $12{,}5 / 2 / 1{,}07 = 5{,}84$ — itu mencampur satuan periode dan tahunan. Selalu kerjakan dalam periode, konversi di akhir.

2. (Transfer.) Mengapa shock yield +100 bp pada SUN 10 tahun menghasilkan kerugian yang LEBIH KECIL daripada yang diprediksi modified duration saja?

Lihat jawaban

Karena convexity (suku kedua) selalu positif untuk obligasi non-callable. Aproksimasi linear $\Delta P/P \approx -D_{mod} \cdot \Delta y$ mengabaikan kelengkuran kurva price-yield. Untuk SUN 10 tahun dengan shock +100 bp: linear memprediksi $-7{,}11\%$, tetapi convexity menambah $+\frac{1}{2} \times 64{,}30 \times (0{,}01)^2 = +0{,}32\%$, sehingga prediksi dur+convexity menjadi $-6{,}79\%$. Harga sebenarnya cocok dengan $-6{,}79\%$, bukan $-7{,}11\%$ — convexity “menahan” 32 basis poin dari kerugian yang diprediksi linear.

Secara geometris: garis tangent (duration) selalu berada di bawah kurva cembung ke arah yield lebih tinggi. Karena kurva cembung ke atas, harga sebenarnya selalu lebih tinggi daripada garis singgungnya saat yield bergerak (baik naik maupun turun). Inilah mengapa convexity menguntungkan pemegang secara struktural.

3. (Kritis.) Seorang manajer portofolio berkata, “Portofolio saya duration-nya 6 tahun, jadi saya kebal terhadap pergerakan bunga hingga 50 bp.” Evaluasi pernyataan ini.

Lihat jawaban

Pernyataan ini setengah benar dan setengah berbahaya. Untuk shock ±50 bp, modified duration memberi aproksimasi yang sangat akurat (error convexity hanya $\frac{1}{2} C \cdot (0{,}005)^2 \approx 0{,}0008$ atau 0,08% untuk convexity 64). Jadi untuk shock kecil, durasi 6 tahun memang cukup untuk memprediksi kerugian $\approx \pm 3\%$.

Tapi tiga peringatan:

1. “Keba” (immune) adalah klaim yang terlalu kuat. Pemegang masih rugi ~3% jika bunga naik 50 bp. Yang dimaksud mungkin “terdapat hedge”, bukan “kebal”.
2. Convexity portofolio belum diperhitungkan. Bila portofolio punya convexity rendah (mis. didominasi obligasi pendek/menengah) dan hedge punya convexity tinggi (futures jangka panjang), hedge akan over-perform saat bunga bergerak dua arah — pemegang bisa rugi relatif terhadap hedge ideal.
3. Shock bunga 50 bp adalah asumsi. Di lingkungan krisis, gerakan harian bisa 100+ bp. Klaim “keba” yang validitasnya hanya sampai 50 bp tidak melindungi dari skenario ekstrem.

Pernyataan yang lebih jujur: “Untuk pergerakan bunga moderat (≤50 bp), portofolio saya dengan duration 6 tahun memiliki eksposur bunga sekitar $\pm 3\%$ per 50 bp, dengan akurasi aproksimasi ±0,1%. Untuk shock lebih besar, saya juga memantau convexity dan skenario stres.”

Lanjutan

• Time Value of Money — fondasi. Tanpa pemahaman kuat tentang PV, faktor diskonto, dan konvensi compounding semiannual, perhitungan durasi akan penuh jebakan satuan.
• WACC — kerangka ringkasan satu-angka yang paralel secara struktural; keduanya menangkap distribusi waktu dalam bentuk ringkas.
• Sensitivity & Scenario Analysis — tabel shock yield di artikel ini adalah analisis sensitivitas satu-variabel; duration dan convexity adalah formalisasi matematis dari turunan pertama dan kedua fungsi respons tersebut.
• Option Pricing — Black-Scholes — convexity sebagai “opsi tertanam”; untuk obligasi callable, puttable, dan konversi, kerangka Greeks (delta, gamma) menjadi alat utama.
• Altman Z-Score — risiko kredit (spread di atas SUN) mempengaruhi YTM dan dengan sendirinya mempengaruhi durasi dan convexity; perusahaan dengan Z-score rendah memiliki obligasi dengan profil price-yield yang lebih curam dan convexity yang lebih tinggi (kompensasi risiko).

Menguasai duration dan convexity berarti memahami bahwa sensitivitas bunga adalah fungsi, bukan angka. Modified duration adalah kemiringan garis singgung di satu titik yield; convexity adalah kelengkungannya; dan untuk shock besar, keduanya harus digabungkan agar prediksi tidak meleset. Dua obligasi dengan tenor yang sama bisa sangat berbeda sensitivitasnya — dan dua obligasi dengan durasi yang sama bisa berbeda convexity-nya, yang menentukan siapa yang untung dan siapa yang rugi saat bunga bergerak dua arah. Itulah mengapa dalam pasar obligasi, “saya tahu durasi portofolio saya” adalah permulaan percakapan, bukan akhirnya.