VAR (Vector Autoregression)

Bayangkan ruang kendali kebijakan moneter sebuah bank sentral. Di layar ada tiga garis yang bergerak setiap bulan: suku bunga acuan, inflasi, dan nilai tukar. Mereka tidak bergerak sendiri-sendiri. Suku bunga dinaikkan bulan ini, beberapa bulan kemudian inflasi cenderung mereda, nilai tukar menguat, lalu nilai tukar yang lebih kuat itu kembali menekan inflasi, yang pada gilirannya memengaruhi keputusan suku bunga berikutnya. Semuanya saling menarik sepanjang waktu, dalam lingkaran yang tak punya titik awal jelas.

Pertanyaannya: bagaimana memodelkan sistem yang setiap bagiannya saling tarik-menarik begini? Regresi biasa memaksa kita memilih satu variabel sebagai “yang dijelaskan” dan sisanya sebagai “penjelas” — padahal di sini tidak ada yang benar-benar bebas. Jawaban untuk teka-teki ini adalah VAR (Vector Autoregression), gagasan yang membawa Christopher Sims ke Hadiah Nobel Ekonomi 2011 dan menjadi tulang punggung makroekonometri modern.

Intuisi: Semua Variabel Setara

Ide radikal Sims sebenarnya sederhana. Daripada berpura-pura tahu mana sebab mana akibat — yang kerap menuntut asumsi teoretis yang rapuh — perlakukan semua variabel secara setara. Tidak ada yang “eksogen” (ditentukan dari luar), tidak ada yang “endogen” (ditentukan di dalam) secara khusus. Setiap variabel dibiarkan bergantung pada masa lalu semua variabel, termasuk masa lalu dirinya sendiri.

Jadi kalau ada dua variabel — sebut saja suku bunga dan inflasi — VAR menulis dua persamaan sekaligus:

• inflasi hari ini = fungsi inflasi kemarin + suku bunga kemarin
• suku bunga hari ini = fungsi inflasi kemarin + suku bunga kemarin

Keduanya simetris. Tidak ada yang lebih utama. Data sendiri yang nanti menentukan seberapa kuat tiap variabel memengaruhi yang lain.

Sistem Persamaan VAR

VAR memperluas model AR (autoregressive — sebuah deret diregresi pada lag dirinya sendiri) dari satu variabel ke banyak variabel sekaligus. Untuk dua variabel $Y$ dan $X$ dengan satu lag, ditulis VAR(1):

Mari urai tiap lambang dengan polos:

• $Y_t$ dan $X_t$ = nilai dua variabel pada waktu $t$ (misalnya inflasi dan suku bunga pada bulan ke-$t$).
• $Y_{t-1}$ dan $X_{t-1}$ = nilai keduanya satu periode sebelumnya (lag pertama). Kalau $Y$ adalah inflasi bulan ini, $Y_{t-1}$ adalah inflasi bulan lalu.
• $c_1, c_2$ = konstanta (intercept) tiap persamaan — sama seperti $b_0$ di regresi biasa.
• $a_{11}, a_{12}, a_{21}, a_{22}$ = koefisien. Baca indeksnya: $a_{12}$ adalah pengaruh lag $X$ terhadap $Y$ (variabel 1 dipengaruhi variabel 2). Kalau $a_{12}$ besar dan positif, suku bunga kemarin mendorong inflasi naik hari ini.
• $\varepsilon_{1t}, \varepsilon_{2t}$ (dibaca “epsilon”) = guncangan (shock) acak tiap persamaan — kejutan yang tak terjelaskan oleh masa lalu, seperti residual di regresi. Inilah “berita baru” yang masuk ke sistem tiap periode.

Perhatikan: tiap persamaan memuat lag kedua variabel. Itulah inti VAR. Untuk sistem dengan $k$ variabel dan $p$ lag — disingkat VAR($p$) — ada $k$ persamaan, masing-masing dengan $1 + kp$ koefisien (satu konstanta plus $kp$ koefisien lag). Jumlah parameter membengkak cepat; kita kembali ke sini di bagian kesalahan umum.

Menaksir VAR: Tiap Persamaan Hanyalah Regresi Biasa

Kabar baiknya: walau terlihat rumit, menaksir VAR tidak menuntut alat baru. Tiap persamaan ditaksir sendiri-sendiri dengan kuadrat terkecil biasa (Ordinary Least Squares, OLS) — metode yang sama persis dengan regresi linear. Bedanya hanya: regresornya adalah nilai-nilai lag.

Contoh hitung dari nol: satu persamaan VAR(1)

Ambil delapan pengamatan dua deret stasioner (nilai-nilai kecil ilustratif; anggap $Y$ = inflasi dan $X$ = suku bunga dalam satuan sembarang):

Untuk menaksir persamaan $Y$, kita susun tabel regresi: variabel terikat $Y_t$ (mulai $t = 2$, karena butuh lag), dengan dua regresor — $Y_{t-1}$ dan $X_{t-1}$ — plus konstanta. Tujuh baris terpakai:

Ini persis regresi berganda (satu variabel terikat, dua variabel bebas). Memecahkan kuadrat terkecil pada tabel ini menghasilkan:

Bacalah seperti regresi biasa. Konstanta $c_1 = 2{,}808$; koefisien lag inflasi $a_{11} = 0{,}699$ (inflasi punya momentum — inflasi tinggi kemarin mendorong inflasi tinggi hari ini); koefisien lag suku bunga $a_{12} = -0{,}795$ (suku bunga tinggi kemarin menekan inflasi hari ini — tanda negatif sesuai intuisi kebijakan moneter).

Dan residualnya tetap dibaca polos seperti di regresi: $e = y - \hat{y}$ = nilai aktual dikurangi nilai prediksi. Ambil baris terakhir ($Y_{t-1} = 4$, $X_{t-1} = 2$, aktual $Y_t = 5$). Prediksinya:

sehingga residualnya $e = 5 - 4{,}014 = 0{,}986$. Guncangan $\hat\varepsilon_{1t}$ pada periode itu sebesar $+0{,}986$ — “berita” yang mendorong inflasi di atas perkiraan model.

Persamaan $X$ ditaksir dengan cara yang sama (variabel terikat $X_t$, regresor sama), menghasilkan $X_t = 0{,}151 + 0{,}808\,Y_{t-1} - 0{,}233\,X_{t-1}$. Itulah seluruh VAR(1)-nya: dua regresi OLS yang berbagi regresor lag yang sama.

Karena tiap persamaan memakai regresor yang identik (lag dari semua variabel), menaksirnya satu per satu dengan OLS memberi hasil yang sama efisien dengan menaksir keduanya serentak. Ini sifat khas VAR yang membuatnya begitu praktis: tidak perlu sistem persamaan simultan yang rumit.

Pemilihan Lag

Berapa banyak lag $p$ yang sebaiknya dipakai — satu, dua, atau lebih? Ini keputusan penting. Terlalu sedikit lag, dinamika sistem tak tertangkap dan residual masih berautokorelasi. Terlalu banyak lag, parameter membengkak dan model berlebihan menyesuaikan (overfit) data — bagus di sampel, buruk di ramalan.

Pemilihan baku memakai kriteria informasi: ukuran yang menyeimbangkan kecocokan model dengan hukuman atas banyaknya parameter. Tiga yang umum:

Cara pakainya: taksir VAR untuk beberapa pilihan $p$ (misalnya 1 sampai 8), hitung tiap kriteria, lalu pilih $p$ yang meminimalkan kriteria. Pada data deret panjang yang sungguh dibangkitkan oleh VAR(1), ketiga kriteria biasanya kompak menunjuk lag 1 — terverifikasi pada simulasi 200 pengamatan: AIC, BIC, dan HQ sama-sama memilih satu lag. Kalau AIC dan BIC berbeda pilihan, lazimnya BIC dimenangkan demi kehematan, lalu dicek apakah residual VAR sudah bersih dari autokorelasi.

Tiga Keluaran Utama

Setelah VAR ditaksir, koefisien mentahnya sulit ditafsirkan satu per satu — jumlahnya banyak dan saling terkait lewat umpan balik antar persamaan. Yang dipakai analis bukan koefisien itu langsung, melainkan tiga alat turunan yang menerjemahkan VAR menjadi cerita yang bisa dibaca.

1. Impulse Response Function (IRF)

IRF menjawab pertanyaan paling penting dalam analisis kebijakan: “kalau ada guncangan satu unit pada variabel A hari ini, bagaimana respons variabel B selama beberapa periode ke depan?” Misalnya: bila BI menaikkan suku bunga secara mengejutkan, bagaimana lintasan inflasi enam bulan, dua belas bulan ke depan?

IRF dihitung dengan menjejakkan guncangan lewat sistem. Pada horizon $h = 0$ kita beri guncangan satu unit, lalu biarkan persamaan VAR meneruskannya dari periode ke periode. Untuk VAR(1) dengan matriks koefisien $A$, respons pada horizon $h$ adalah:

di mana $\psi_h$ (dibaca “psi”) = vektor respons semua variabel pada horizon $h$; $A^h$ = matriks koefisien dipangkatkan $h$ (efek lag dirantai $h$ kali); dan $e_j$ = guncangan satu unit pada variabel ke-$j$. Bacalah polos: respons $h$ periode ke depan = guncangan awal yang dilewatkan melalui dinamika sistem sebanyak $h$ langkah.

Karena VAR yang stabil meredam guncangan (akar karakteristiknya di dalam lingkaran unit — lihat syarat di bawah), respons selalu meluruh kembali ke nol seiring horizon menjauh. Bentuknya bisa menurun mulus, atau memuncak dulu lalu berosilasi sambil meredam:

Contoh angka. Ambil VAR(1) ilustratif dengan matriks koefisien sederhana

dengan urutan variabel $[Y, X]$. Perhatikan $a_{21} = 0$: lag $Y$ tidak memengaruhi $X$ (jadi $X$ “berdiri sendiri”), tetapi lag $X$ memengaruhi $Y$ lewat $a_{12} = 0{,}3$. Sekarang beri guncangan satu unit pada $X$ dan jejakkan responnya pada $Y$:

Bacalah lintasan ini: pada $h = 0$ respons $Y$ masih nol (guncangan $X$ baru memengaruhi $Y$ lewat lag, jadi efeknya muncul satu periode kemudian); pada $h = 1$ melonjak ke $0{,}30$ ($= a_{12}$); lalu meluruh menuju nol ($0{,}27 \to 0{,}18 \to 0{,}11 \to \dots$) karena $A$ stabil. Inilah jejak respons inflasi terhadap kejutan suku bunga yang dibaca para pembuat kebijakan.

2. Forecast Error Variance Decomposition (FEVD)

FEVD menjawab: “berapa persen ketidakpastian ramalan variabel B yang berasal dari guncangan variabel A, dibanding dari guncangan dirinya sendiri?” Ia memecah varians kesalahan ramalan tiap variabel menjadi kontribusi tiap sumber guncangan.

Lanjutkan contoh $A$ di atas. Pecah varians kesalahan ramalan $Y$ di berbagai horizon menjadi dua sumber — guncangan $Y$ sendiri vs guncangan $X$ (dengan asumsi guncangan ortogonal berdaya sama, urutan $X$ lebih dulu):

Bacalah: pada horizon satu periode, seluruh ketidakpastian ramalan $Y$ berasal dari guncangan $Y$ sendiri (guncangan $X$ belum sempat merembes karena bekerja lewat lag). Makin jauh horizon, peran guncangan $X$ naik dan mantap di sekitar $14\%$ — artinya $X$ menyumbang sekitar sepertujuh ketidakpastian inflasi jangka menengah. FEVD mengubah pertanyaan “siapa memengaruhi siapa” menjadi angka pangsa yang langsung bisa dilaporkan.

3. Granger Causality

Granger causality menjawab: “apakah masa lalu A membantu memprediksi B, di luar apa yang sudah dijelaskan oleh masa lalu B sendiri?” Kalau ya, A dikatakan “Granger-cause” B.

Ujinya lugas — sebuah uji $F$ yang membandingkan dua regresi atas $Y$:

• Model terbatas (restricted): $Y_t$ diregresi pada lag $Y$ saja.
• Model penuh (unrestricted): $Y_t$ diregresi pada lag $Y$ dan lag $X$.

Kalau menambahkan lag $X$ memangkas jumlah kuadrat residual secara berarti, maka $X$ Granger-cause $Y$. Statistiknya:

dengan $\text{SSR}_r$ dan $\text{SSR}_u$ = jumlah kuadrat residual model terbatas dan penuh; $q$ = banyaknya batasan (jumlah koefisien lag $X$ yang diuji nol); $n$ = jumlah baris; $k_u$ = jumlah parameter model penuh.

Contoh angka memakai data delapan pengamatan di atas. Apakah $X$ (suku bunga) Granger-cause $Y$ (inflasi)? Model penuh memberi $\text{SSR}_u = 3{,}069$; model terbatas (tanpa lag $X$) memberi $\text{SSR}_r = 4{,}714$. Dengan $q = 1$ batasan dan $n - k_u = 7 - 3 = 4$ derajat kebebasan:

Nilai $p$-nya $0{,}217$ — lebih besar dari $0{,}05$, jadi pada data mungil ini kita gagal menyimpulkan $X$ Granger-cause $Y$ (sampel tujuh baris memang terlalu kecil untuk daya uji yang berarti; ini sekadar ilustrasi mekanisme).

Penting: Granger causality hanya soal prediktabilitas, bukan kausalitas sejati. A bisa “Granger-cause” B tanpa benar-benar menyebabkannya — misalnya kalau pelaku pasar mengantisipasi B sehingga A bergerak lebih dulu (efek ekspektasi). Nama “causality” di sini menyesatkan; bacalah selalu sebagai “membantu memprediksi”.

Identifikasi: Masalah Urutan (Ordering)

Ada satu kerumitan halus di balik IRF dan FEVD. Guncangan dua persamaan, $\varepsilon_{1t}$ dan $\varepsilon_{2t}$, biasanya berkorelasi — keduanya bisa bergerak bersama dalam periode yang sama. Untuk menjejakkan “guncangan murni satu variabel” lewat IRF, kita perlu memisahkan guncangan yang berkorelasi itu menjadi guncangan yang saling bebas (ortogonal). Cara paling umum adalah dekomposisi Cholesky, yang menuntut sebuah asumsi urutan: variabel mana yang boleh memengaruhi variabel lain dalam periode yang sama (kontemporer).

Pada contoh $A$ di atas, urutan $[X, Y]$ menempatkan $X$ “lebih dulu” — $X$ boleh memengaruhi $Y$ seketika, tetapi $Y$ baru memengaruhi $X$ periode berikutnya. Itu sebabnya respons $Y$ terhadap guncangan $X$ pada $h = 0$ bernilai nol di tabel IRF tadi: urutan yang kita pilih melarang efek seketika dari $Y$ ke $X$, bukan sebaliknya.

Masalahnya: ganti urutan, IRF bisa berubah. Urutan itu asumsi peneliti, bukan fakta dari data. Karena itu praktik modern:

• Selalu laporkan urutan yang dipakai dan uji ketahanannya dengan urutan alternatif.
• Untuk identifikasi yang lebih kuat, pakai SVAR (Structural VAR) dengan pembatasan tanda (sign restriction — membatasi arah respons sesuai teori, bukan urutan kontemporer) atau identifikasi lewat heteroskedastisitas. Pendekatan-pendekatan ini mengurangi ketergantungan pada urutan Cholesky yang sewenang-wenang.

Syarat Kestabilan dan Diagnostik

Sebelum IRF/FEVD bermakna, VAR harus lolos beberapa syarat:

• Stasioner. Semua variabel harus stasioner. Kalau ada unit root dan kointegrasi, VAR di level salah — pakai VECM. Kalau ada unit root tanpa kointegrasi, jalankan VAR pada deret yang sudah di-difference.
• Stabil. Akar karakteristik sistem (nilai eigen matriks koefisien) harus berada di dalam lingkaran unit (modulusnya $< 1$). Inilah yang menjamin IRF meluruh ke nol alih-alih meledak. Pada contoh $A = \begin{bmatrix} 0{,}5 & 0{,}3 \\ 0 & 0{,}4 \end{bmatrix}$, nilai eigennya $0{,}5$ dan $0{,}4$ — keduanya di dalam lingkaran unit, jadi stabil.
• Residual bersih. Residual tiap persamaan harus tidak berautokorelasi (uji Portmanteau atau LM). Autokorelasi sisa pertanda lag terlalu sedikit.

Visualisasi Interaktif

Atur kekuatan spillover (seberapa besar guncangan satu variabel merembes ke variabel lain) dan persistensi, lalu amati bagaimana impulse response berubah bentuknya — memuncak, berosilasi, atau meluruh cepat.

Cobalah:

1. Naikkan kekuatan spillover dari $X$ ke $Y$, lihat amplitudo impulse response $Y$ terhadap guncangan $X$ membesar.
2. Naikkan persistensi, perhatikan respons bertahan lebih lama sebelum meluruh.
3. Dorong persistensi sangat tinggi: respons bisa berosilasi naik-turun melewati nol sebelum akhirnya kembali ke nol — pola osilasi teredam seperti pada gambar IRF di atas.

Cek Pemahaman

1. Dalam VAR(1) dua variabel, Anda menaksir persamaan untuk $Y$ dan memperoleh $a_{12} = 0$ (koefisien $X_{t-1}$ pada persamaan $Y$). Selain itu uji Granger menunjukkan $X$ tidak Granger-cause $Y$. Apa kaitan kedua temuan ini, dan apa artinya untuk impulse response $Y$ terhadap guncangan $X$?

2. (Soal transfer.) Seorang ekonom BI menaksir VAR tiga variabel (BI Rate, inflasi, nilai tukar) dan melaporkan: “FEVD menunjukkan pada horizon 12 bulan, 40% varians kesalahan ramalan inflasi berasal dari guncangan BI Rate; selebihnya dari guncangan inflasi sendiri dan nilai tukar.” Seorang kolega menyimpulkan: “Berarti BI Rate menyebabkan 40% pergerakan inflasi.” (a) Apa yang keliru dari kesimpulan kolega itu? (b) Asumsi apa yang membuat angka 40% itu bisa berubah, dan bagaimana sebaiknya dilaporkan?

Cara di Software

# R
library(vars)
VARselect(data, lag.max = 8)              # pilih lag (AIC/BIC/HQ)
fit <- VAR(data, p = 2)                    # taksir VAR(2)
roots(fit)                                 # cek stabilitas (modulus < 1)
irf(fit, impulse = "suku_bunga", response = "inflasi", n.ahead = 12)
fevd(fit, n.ahead = 12)                    # variance decomposition
causality(fit, cause = "suku_bunga")$Granger

* Stata
varsoc y x z                 // pilih lag
var y x z, lags(1/2)         // taksir VAR(2)
varstable                    // cek stabilitas
irf create m1, set(irf1) step(12)
irf graph oirf, impulse(x) response(y)   // orthogonalized IRF
vargranger                   // Granger causality

# Python (statsmodels)
from statsmodels.tsa.api import VAR
model = VAR(data)
model.select_order(maxlags=8).summary()    # pilih lag
m = model.fit(2)                           # taksir VAR(2)
m.is_stable()                              # cek stabilitas
m.irf(12).plot()                           # impulse response
m.fevd(12).summary()                       # variance decomposition
m.test_causality('inflasi', 'suku_bunga')  # Granger causality

Excel Companion

/excel/var-vector-autoregression.xlsx berisi ringkasan konsep, lembar taksiran satu persamaan VAR(1) dengan formula hidup (kolom $Y_{t-1}$, $X_{t-1}$, prediksi, dan residual dari data mentah delapan pengamatan), simulasi peluruhan impulse response untuk matriks koefisien yang bisa diubah, dan cheat-sheet kode R/Stata/Python yang menyertai materi ini.

Kesalahan Umum

Menafsirkan Granger causality sebagai kausalitas sejati. Granger causality hanya soal prediktabilitas. A bisa Granger-cause B tanpa menyebabkannya — kerap karena ekspektasi atau variabel ketiga yang terlewat. Bacalah selalu “membantu memprediksi”, bukan “menyebabkan”.

Pakai VAR pada deret non-stasioner tanpa cek kointegrasi. Kalau ada unit root dan kointegrasi, VAR di level salah dan bisa menghasilkan hubungan palsu — pakai VECM. Kalau non-stasioner tanpa kointegrasi, jalankan VAR pada deret yang sudah di-difference.

Membaca koefisien VAR satu per satu. Koefisien individu hampir tak bermakna karena efek umpan balik antar persamaan. Ringkas selalu lewat IRF, FEVD, dan Granger — bukan tabel koefisien mentah.

Mengabaikan sensitivitas urutan Cholesky. Mengganti urutan variabel bisa mengubah IRF dan FEVD. Laporkan urutan yang dipakai, uji ketahanannya dengan urutan lain, atau pindah ke SVAR dengan pembatasan tanda.

Terlalu banyak variabel atau lag. VAR cepat boros parameter (curse of dimensionality): $k$ variabel dan $p$ lag berarti $k(1 + kp)$ koefisien. Sistem empat variabel dengan empat lag sudah 68 parameter — mudah overfit. Jaga sistem tetap kecil; untuk sistem besar, pertimbangkan Bayesian VAR yang menambahkan prior untuk menahan parameter.

Tidak mengecek kestabilan. Kalau akar karakteristik di luar atau di tepi lingkaran unit, IRF tidak meluruh dan FEVD tak bermakna. Selalu jalankan roots()/varstable/is_stable() sebelum menafsirkan apa pun.

Kapan Dipakai di Dunia Nyata

Kebijakan moneter Bank Indonesia. Analisis transmisi kebijakan: bagaimana guncangan BI Rate menyebar ke inflasi, pertumbuhan kredit, dan output sepanjang waktu. IRF dan FEVD adalah alat standar dalam laporan kebijakan moneter dan riset BI — menjawab “berapa bulan sampai kenaikan suku bunga menekan inflasi, dan seberapa besar”.

Hubungan makro-keuangan. Interaksi nilai tukar Rupiah, indeks harga saham (IHSG), dan aliran modal asing kerap dianalisis dengan VAR/SVAR — misalnya menelusuri respons IHSG terhadap kejutan arus modal keluar.

Studi pass-through. Seberapa cepat dan besar perubahan harga BBM atau nilai tukar diteruskan ke inflasi konsumen. IRF memberi lintasan pass-through dari periode ke periode — masukan penting untuk proyeksi inflasi dan kebijakan harga energi.

Pemodelan keuangan dan proyeksi. Dalam kajian kelayakan jangka panjang (misalnya proyek infrastruktur KPBU), VAR antar variabel makro — inflasi, nilai tukar, suku bunga — dipakai untuk membangun skenario terkorelasi yang lebih realistis daripada mengasumsikan tiap variabel bergerak sendiri.

Lanjutan

• Berikutnya: Cointegration & VECM — apa yang dilakukan saat deret non-stasioner tetapi terikat keseimbangan jangka panjang; VECM adalah VAR yang ditambah suku koreksi.
• Perlu menyegarkan syarat dasarnya? Balik ke Stasioneritas dan unit root — fondasi yang menentukan apakah VAR boleh dipakai di level.
• Untuk pemodelan deret tunggal: ARIMA. Untuk volatilitas deret keuangan: GARCH.
• Diagnostik yang relevan: Autokorelasi — uji residual VAR bertumpu pada deteksi autokorelasi.

Reference

• Sims, C. A. (1980), “Macroeconomics and reality”, Econometrica, 48(1), 1–48.
• Lütkepohl, H. (2005), New Introduction to Multiple Time Series Analysis, Springer.
• Enders, W. (2014), Applied Econometric Time Series, 4th ed., Wiley.
• Stock, J. H. & Watson, M. W. (2001), “Vector autoregressions”, Journal of Economic Perspectives, 15(4), 101–115.