Uji Normalitas (Jarque-Bera & Shapiro-Wilk)

Seorang mahasiswa datang dengan wajah pucat. Uji normalitas pada model regresinya memberi p-value 0,001. “Berarti regresi saya gagal, Pak? Harus diulang dari awal?” Dosen pembimbing pertama menyuruh mengubah datanya ke bentuk logaritma. Dosen penguji justru berkata santai, “Tidak apa-apa, sampel Anda 500 orang.” Dua nasihat yang bertolak belakang, di ruangan yang sama, untuk angka yang sama.

Anehnya, kedua dosen itu bisa sama-sama benar — tergantung apa yang sebenarnya ingin dicapai. Normalitas adalah asumsi regresi yang paling sering disalahpahami. Banyak yang mengira ia syarat mutlak; sebagian malah mengabaikannya sama sekali. Yang benar ada di tengah, dan butuh kejelasan tentang dua hal: apa yang harus normal, dan untuk apa normalitas itu dibutuhkan. Artikel ini menjawab keduanya dari nol.

Yang Harus Normal: Sisa, Bukan Data Mentah

Inilah kesalahpahaman terbesar. Yang harus berdistribusi normal bukan variabel terikat $Y$, bukan variabel bebas $X$, melainkan sisa (residual) regresi.

Mari tulis sisa itu polos lebih dulu, supaya tidak ada yang mengambang:

Di sini $y$ adalah nilai $Y$ yang benar-benar teramati, dan $\hat{y}$ (dibaca “y-topi”) adalah nilai yang diprediksi garis regresi. Selisih keduanya adalah sisa. Misalnya seorang mahasiswa sebenarnya dapat nilai 78 padahal garis memprediksi 75, maka sisanya $e = 78 - 75 = 3$ (titik berada 3 poin di atas garis). Kalau aktualnya 72 dan prediksi 75, maka $e = 72 - 75 = -3$ (titik di bawah garis). Uji normalitas bertanya: kalau semua sisa ini dikumpulkan, apakah sebarannya berbentuk lonceng?

Kenapa sisa, bukan data mentah? Karena $Y$ memang sering tidak normal secara alami — pendapatan menceng (skewed) ke kanan, harga rumah berekor panjang — dan itu sama sekali tidak masalah. Yang dipersyaratkan teori inferensi adalah galat model setelah pengaruh $X$ disingkirkan. Sebuah $Y$ yang menceng tajam bisa saja menghasilkan sisa yang rapi normal, dan sebaliknya.

Untuk Apa Normalitas Dibutuhkan

Pertanyaan kedua yang menyelamatkan banyak mahasiswa: normalitas dibutuhkan untuk apa? Jawabannya jauh lebih sempit dari yang dikira. Mari pisahkan empat tujuan yang berbeda:

Baca tabel itu pelan-pelan, karena ia membongkar dua mitos sekaligus. Mitos pertama: “kalau sisa tidak normal, koefisien saya salah.” Keliru — koefisien tetap tak bias; angka slope dan intercept tidak terpengaruh sedikit pun. Mitos kedua: “normalitas selalu wajib.” Juga keliru — pada sampel besar, ia praktis tidak penting.

Kunci mitos kedua adalah Central Limit Theorem (CLT). CLT menjamin bahwa pada sampel cukup besar, sebaran koefisien taksiran $\hat{\beta}$ mendekati normal meski sisa individunya tidak normal. Akibatnya, uji-$t$ dan uji-$F$ tetap sahih secara asimtotik (yakni: makin besar sampel, makin tepat). Inilah sebabnya dosen penguji yang berkata “tidak apa-apa, n = 500” itu benar — pada 500 observasi, CLT sudah bekerja penuh.

Maka aturan praktisnya: normalitas sisa benar-benar penting hanya pada sampel kecil (puluhan observasi, terutama di bawah 30–50). Di situ CLT belum sempat menolong, sehingga validitas uji-$t$ bergantung langsung pada normalitas sisa. Tesis dengan data eksperimen lab atau survei terbatas adalah contoh klasiknya.

Dua Bentuk Penyimpangan: Kemencengan dan Keruncingan

Sebelum menghitung, kita perlu bahasa untuk bagaimana sebuah sebaran bisa menyimpang dari normal. Ada dua arah penyimpangan utama, dan keduanya menjadi bahan baku uji Jarque-Bera.

Kemencengan (skewness, lambang $S$) mengukur ke-tak-simetris-an. Distribusi normal sempurna simetris, sehingga $S = 0$. Kalau ekor kanan lebih panjang (banyak nilai besar yang langka, seperti pendapatan), $S > 0$ — disebut menceng kanan. Kalau ekor kiri lebih panjang, $S < 0$ — menceng kiri.

Keruncingan (kurtosis, lambang $K$) mengukur ketebalan ekor. Distribusi normal punya $K = 3$ (ini patokan baku). Kalau $K > 3$, ekornya lebih tebal dari normal — artinya nilai-nilai ekstrem lebih sering muncul daripada yang diramalkan kurva normal. Ini sangat lazim pada data keuangan: imbal hasil saham kerap punya $K$ jauh di atas 3, pertanda risiko ekstrem (kejatuhan tajam) lebih sering dari dugaan model normal.

Cara melihat kedua bentuk penyimpangan ini dengan mata adalah dengan mengumpulkan semua sisa lalu menggambar sebarannya sebagai histogram — lalu membandingkannya dengan kurva lonceng ideal:

Idenya: kalau kita bisa mengukur seberapa jauh $S$ dari 0 dan seberapa jauh $K$ dari 3, kita punya alat objektif untuk menilai normalitas — tanpa bergantung pada mata. Itulah persis yang dilakukan Jarque-Bera.

Uji Jarque-Bera

Uji Jarque-Bera (JB) menggabungkan kedua bentuk penyimpangan tadi ke dalam satu angka:

Tiap lambang:

• $n$ = jumlah observasi (banyak sisa yang diuji). Faktor $\tfrac{n}{6}$ membuat statistik tumbuh seiring ukuran sampel.
• $S$ = kemencengan sisa. Di bawah normal $S = 0$, sehingga suku $S^2$ menghukum penyimpangan dari simetri.
• $K$ = keruncingan sisa. Di bawah normal $K = 3$, sehingga suku $(K-3)^2$ menghukum ekor yang terlalu tebal atau terlalu tipis.

Perhatikan strukturnya: kalau sisa benar-benar normal, $S \approx 0$ dan $K \approx 3$, sehingga isi kurung mendekati nol dan $JB$ pun kecil. Makin jauh data dari normal, makin besar $JB$.

Di bawah hipotesis nol $H_0$ (“sisa berdistribusi normal”), statistik $JB$ mengikuti distribusi khi-kuadrat ($\chi^2$) dengan 2 derajat bebas — angka 2 berasal dari dua hal yang diuji sekaligus (kemencengan dan keruncingan). Aturan keputusannya:

• Bandingkan $JB$ dengan nilai kritis $\chi^2_{2;\,0{,}05} = 5{,}99$.
• Kalau $JB > 5{,}99$ (setara p-value $< 0{,}05$), tolak $H_0$: sisa tidak normal.
• Kalau $JB \le 5{,}99$, tidak cukup bukti untuk menolak normalitas.

Contoh hitung dari nol: membangun S dan K

Sebelum memakai $S$ dan $K$ sebagai angka jadi, mari lihat dari mana keduanya datang. Keduanya dibangun dari momen — rata-rata pangkat sisa. Kita pakai enam sisa kecil yang sengaja dipilih agar rapi: $e = -4, -1, 0, 1, 1, 3$. Karena sisa OLS selalu berjumlah nol, rata-ratanya $\bar{e} = 0$, sehingga simpangan tiap sisa dari rata-rata sama dengan sisa itu sendiri.

Susun tabel pangkat:

Tiga momen yang kita perlukan ($n = 6$):

Di sini $m_2$ adalah varians (rata-rata kuadrat simpangan), $m_3$ momen ketiga (mengandung tanda — penentu arah kemencengan), dan $m_4$ momen keempat. Kemencengan dan keruncingan adalah momen-momen ini yang dinormalkan terhadap $m_2$ supaya tanpa satuan:

Hasilnya: $S = -0{,}595$ (sedikit menceng kiri) dan $K = 2{,}602$ (ekor sedikit lebih tipis dari normal). Itulah cara $S$ dan $K$ lahir dari data — bukan angka ajaib, melainkan rata-rata pangkat sisa yang dinormalkan.

Contoh hitung dari nol: statistik JB

Sekarang pakai sepasang nilai $S$ dan $K$ yang lebih realistis untuk sampel sedang. Misalkan dari 100 sisa sebuah regresi diperoleh $S = 0{,}5$ (menceng kanan ringan) dan $K = 4{,}2$ (ekor lebih tebal dari normal). Masukkan ke rumus, langkah demi langkah:

Kerjakan dari dalam kurung dulu. Suku kemencengan: $0{,}5^2 = 0{,}25$. Suku keruncingan: $(4{,}2 - 3)^2 = 1{,}2^2 = 1{,}44$, lalu dibagi 4 menjadi $0{,}36$. Jumlah keduanya $0{,}25 + 0{,}36 = 0{,}61$. Faktor depan: $\tfrac{100}{6} = 16{,}667$. Maka:

Keputusan: $JB = 10{,}17 > 5{,}99$, jadi kita tolak $H_0$ — sisa tidak normal. Sumber utama penolakan di sini adalah keruncingan ($K = 4{,}2 > 3$): ekornya terlalu tebal, ada terlalu banyak sisa ekstrem dibanding yang diramalkan kurva normal. (p-value tepatnya $\approx 0{,}006$, jauh di bawah 0,05.)

Q-Q Plot: Membaca Normalitas dengan Mata

Angka uji memberi keputusan ya/tidak, tetapi tidak memberi tahu bagaimana data menyimpang. Untuk itu ada Q-Q plot (quantile-quantile plot) — alat visual yang sering lebih informatif daripada p-value mana pun.

Idenya: urutkan sisa dari kecil ke besar, lalu plot tiap sisa terhadap nilai yang seharusnya muncul kalau data benar-benar normal. Kalau sebaran sisa memang normal, titik-titik akan jatuh rapi di sepanjang garis diagonal lurus. Penyimpangan dari garis itu langsung memberi tahu jenis masalahnya:

• Titik melengkung membentuk huruf S → ekor lebih tebal atau lebih tipis dari normal (masalah keruncingan).
• Ujung-ujung melengkung ke satu arah → data menceng (masalah kemencengan).
• Beberapa titik ujung melompat jauh dari garis → ada pencilan (outlier).

Pada sampel besar, Q-Q plot adalah penyelamat: ketika uji formal menolak normalitas hanya karena penyimpangan sepele (kita bahas sebentar lagi), Q-Q plot yang hampir lurus memberi keyakinan bahwa inferensi tetap aman.

Uji Shapiro-Wilk

Jarque-Bera bekerja baik pada sampel besar, tetapi pada sampel kecil ia kurang peka. Untuk sampel kecil sampai sedang ($n$ di bawah 2000), uji Shapiro-Wilk punya daya (power) tertinggi — artinya paling jago mendeteksi ketidaknormalan saat memang ada. Statistiknya:

Tiap lambang:

• $e_{(i)}$ = sisa yang sudah diurutkan dari terkecil ke terbesar (tanda kurung pada indeks menandai “terurut”).
• $a_i$ = konstanta bobot yang sudah dihitung dari teori; ia mencerminkan nilai harapan sisa terurut seandainya data benar-benar normal. Bobot ini tersedia di tabel/perangkat lunak, jadi tidak perlu dihitung tangan.
• Penyebut $\sum (e_i - \bar{e})^2$ adalah jumlah kuadrat simpangan — ukuran sebaran total, sama seperti pembilang varians.

Intinya $W$ membandingkan “seberapa mirip urutan sisa nyata dengan urutan yang diharapkan kalau normal”. Nilainya antara 0 dan 1: $W$ mendekati 1 berarti sangat mirip normal; makin kecil $W$, makin jauh dari normal. Keputusannya tetap lewat p-value: p-value $< 0{,}05$ berarti tolak normalitas.

Contoh: dua sampel yang kontras

Karena $a_i$ tidak praktis dihitung tangan, kita pakai perangkat lunak untuk dua sampel kecil ($n = 10$) yang sengaja dibuat kontras. Keduanya diverifikasi dengan scipy.stats.shapiro.

Sampel A — kira-kira normal: 68, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 79, 82, 85. Sebarannya simetris dan menumpuk di tengah. Hasilnya $W = 0{,}987$ dengan p-value $= 0{,}99$. Karena p-value jauh di atas 0,05, tidak menolak normalitas — konsisten dengan bentuknya yang memang menyerupai lonceng.

Sampel B — menceng kanan (mirip data pendapatan): 10, 11, 12, 12, 13, 14, 15, 18, 25, 40. Sebagian besar nilai kecil, dengan ekor panjang ke kanan. Hasilnya $W = 0{,}729$ dengan p-value $= 0{,}002$. Karena p-value di bawah 0,05, tolak normalitas — sesuai dengan ekor kanan yang jelas terlihat.

Perhatikan bagaimana $W$ turun tajam (dari 0,987 ke 0,729) begitu kemencengan masuk. Itulah kepekaan Shapiro-Wilk pada sampel kecil.

Memilih Uji yang Tepat

Pegangan praktis: untuk sampel kecil andalkan Shapiro-Wilk; untuk sampel besar, Jarque-Bera sebagai uji formal — tetapi pada sampel sangat besar, percayai Q-Q plot lebih dari p-value (alasannya di bagian berikut).

Visualisasi Interaktif

Geser kendali untuk melihat bagaimana kemencengan dan keruncingan mengubah bentuk sebaran, Q-Q plot, dan statistik uji secara langsung.

Coba tiga hal ini:

1. Geser kemencengan dan keruncingan, lalu amati titik-titik Q-Q plot melengkung menjauh dari garis diagonal — bentuk lengkungnya menandai jenis penyimpangan.
2. Perhatikan statistik JB membesar saat data makin jauh dari normal.
3. Perbesar $n$ dan amati JB jadi makin peka — ia menolak normalitas bahkan untuk penyimpangan sepele. Inilah jebakan uji-berlebihan (over-testing) yang kita bahas berikut.

Jebakan Sampel Besar

Ada paradoks yang membuat banyak peneliti bingung: pada sampel besar, uji normalitas formal hampir selalu menolak normalitas — bahkan ketika sebarannya secara praktis sudah cukup normal. Penyebabnya struktural: faktor $\tfrac{n}{6}$ pada rumus JB tumbuh seiring $n$, sehingga penyimpangan sekecil apa pun, ketika dikalikan $n$ yang besar, menghasilkan statistik yang melampaui nilai kritis.

Contoh nyata (diverifikasi Python): ambil 2000 data dari distribusi $t$ dengan derajat bebas 10 — distribusi yang sangat mirip normal, hanya ekornya sedikit lebih tebal. Uji JB memberi statistik $\approx 23{,}4$ dengan p-value $\approx 0{,}00001$, menolak normalitas dengan keyakinan tinggi. Padahal untuk keperluan inferensi, $t(10)$ pada $n = 2000$ sama sekali tidak bermasalah — CLT sudah lama bekerja.

Maka pada sampel besar, jangan panik melihat p-value mungil. Lihat Q-Q plot: kalau titik-titik hanya sedikit melenceng di ujung ekor sementara bagian tengahnya lurus, inferensi asimtotik tetap aman. Akal sehat dan grafik mengalahkan p-value mentah di sini.

Cara Cek di Software

Setelah paham asal-usulnya, di perangkat lunak tinggal panggil fungsi bawaan. Kuncinya: selalu uji sisa, bukan data mentah — jalankan model dulu, ambil sisanya, baru uji.

# R
m   <- lm(y ~ x, data = dat)
res <- residuals(m)                          # ambil sisa lebih dulu
shapiro.test(res)                            # Shapiro-Wilk
library(tseries); jarque.bera.test(res)      # Jarque-Bera
qqnorm(res); qqline(res)                     # Q-Q plot visual

* Stata
reg y x
predict r, resid                             // ambil sisa
sktest r                                     // uji kemencengan-keruncingan (mirip JB)
swilk r                                      // Shapiro-Wilk

# Python
import statsmodels.api as sm
from scipy import stats
m = sm.OLS(y, sm.add_constant(x)).fit()
resid = m.resid                              # ambil sisa
stats.jarque_bera(resid)                     # (statistik JB, p-value)
stats.shapiro(resid)                         # (W, p-value)

Excel Companion

/excel/uji-normalitas.xlsx berisi ringkasan konsep, kalkulator Jarque-Bera berformula hidup (dari kolom $e$, $e^2$, $e^3$, $e^4$ sampai $S$, $K$, dan statistik JB), serta cheat-sheet kode R/Stata/Python yang menyertai materi ini. Angka di lembar itu cocok persis dengan contoh hitung di atas.

Cek Pemahaman

1. Dari 60 sisa sebuah regresi diperoleh kemencengan $S = 0{,}8$ dan keruncingan $K = 4{,}0$. Hitung statistik Jarque-Bera dari nol, lalu ambil keputusan pada taraf 5% (nilai kritis $\chi^2_{2;\,0{,}05} = 5{,}99$).

2. (Soal transfer.) Seorang analis risiko menguji normalitas imbal hasil harian sebuah saham, $n = 1500$. Uji Jarque-Bera memberi p-value $0{,}000$, dan Q-Q plot menunjukkan bagian tengah lurus rapi tetapi kedua ujung melengkung tajam menjauh dari garis. (a) Apa arti lengkungan di kedua ujung itu? (b) Apakah analis harus mengubah datanya agar lolos uji? (c) Untuk model peramalan volatilitas, apakah temuan ini penting?

Kesalahan Umum

Menguji normalitas data mentah, bukan sisa. Yang harus normal adalah sisa $e = y - \hat{y}$, bukan $Y$ atau $X$. Variabel $Y$ boleh menceng tajam asalkan sisanya wajar. Menguji $Y$ mentah adalah salah sasaran yang paling sering terjadi.

Panik karena p-value $< 0{,}05$ di sampel besar. Pada $n$ ribuan, uji formal menolak normalitas untuk penyimpangan sekecil apa pun. Cek Q-Q plot: kalau hanya sedikit melenceng di ekor sementara tengahnya lurus, inferensi asimtotik tetap aman.

Langsung mengubah ke logaritma tanpa alasan. Transformasi log mengubah arti koefisien (dari “perubahan satuan” menjadi “perubahan persen”). Jangan mengubah data hanya agar lolos uji normalitas; ubah ke log karena hubungannya memang multiplikatif (lihat functional forms).

Mengira non-normalitas membuat koefisien bias. Tidak. Koefisien tetap tak bias — angka slope dan intercept tidak berubah. Hanya inferensi sampel kecil (uji-$t$, uji-$F$ eksak) yang terpengaruh.

Memakai Kolmogorov-Smirnov standar. KS standar mengasumsikan parameter distribusi sudah diketahui. Karena dalam praktik parameter ditaksir dari data, KS standar memberi hasil terlalu longgar. Pakai koreksi Lilliefors, atau lebih baik langsung Shapiro-Wilk.

Kapan Dipakai di Dunia Nyata

• Tesis dengan sampel kecil ($n < 50$). Data eksperimen lab atau survei terbatas. Di sini normalitas sisa benar-benar penting untuk validitas uji-$t$, karena CLT belum sempat bekerja. Pakai Shapiro-Wilk.
• Audit model risiko keuangan. Imbal hasil aset kerap berekor tebal (keruncingan jauh di atas 3). Uji normalitas mengungkap risiko ekstrem yang diabaikan model berasumsi normal — relevan untuk Value at Risk dan uji ketahanan portofolio di pasar modal Indonesia (IDX).
• Validasi sisa sebelum peramalan. Sisa yang tidak normal pada model peramalan sering menjadi sinyal ada struktur yang belum tertangkap — pola musiman, pencilan, atau perubahan rezim — bukan sekadar masalah distribusi.

Lanjutan

Normalitas adalah satu dari rangkaian pemeriksaan asumsi setelah regresi. Begitu Anda paham bahwa yang diuji adalah sisa dan bahwa tujuannya menjaga inferensi, pemeriksaan asumsi lain akan terasa satu keluarga.

• Berikutnya: Heteroskedastisitas (Breusch-Pagan & White) — saat ragam sisa tidak konstan, dan obat modernnya galat baku kukuh.
• Influential Observations & Outlier — pencilan yang sering menjadi biang ketidaknormalan sisa.
• Functional Forms — kapan transformasi (termasuk log) memang dibenarkan, bukan sekadar untuk lolos uji.

Fondasi:

• Asumsi Klasik Gauss-Markov (BLUE) — kenapa BLUE tidak butuh normalitas sama sekali.
• Distribusi Normal — bentuk lonceng dan aturan empiris yang menjadi acuan uji ini.
• Central Limit Theorem — alasan sampel besar menolong inferensi walau sisa tidak normal.

Reference

• Jarque, C. M. & Bera, A. K. (1987), “A test for normality of observations and regression residuals”, International Statistical Review, 55(2), 163–172.
• Shapiro, S. S. & Wilk, M. B. (1965), “An analysis of variance test for normality (complete samples)”, Biometrika, 52(3/4), 591–611.
• Wooldridge, J. M. (2019), Introductory Econometrics: A Modern Approach, 7th ed., Ch. 5 (inferensi asimtotik).