Stationarity & Unit Root (ADF, KPSS)

Seorang peneliti meregresikan jumlah penduduk Indonesia terhadap jumlah pengguna internet sedunia. Hasilnya memukau: R-kuadrat 0,98, koefisiennya sangat “signifikan”. Kesimpulan yang menggoda: pertumbuhan penduduk Indonesia mendorong adopsi internet global. Tentu saja itu mustahil. Keduanya cuma kebetulan sama-sama menanjak seiring berjalannya waktu — yang satu tidak menyebabkan yang lain. Angkanya meyakinkan, tetapi ceritanya omong kosong.

Jebakan ini bukan kasus langka. Ia muncul hampir setiap kali dua deret yang “naik terus” diadu dalam regresi, dan ia adalah salah satu kesalahan paling sering di analisis ekonomi. Akarnya satu konsep yang harus dikuasai sebelum menyentuh model deret waktu mana pun: stasioneritas.

Intuisi: Deret yang “Betah” versus Deret yang “Menjelajah”

Bayangkan dua orang berdiri di lapangan. Orang pertama diikat seutas karet ke sebuah tiang: ia boleh melangkah ke segala arah, tetapi karet selalu menariknya kembali ke dekat tiang. Sejauh apa pun kita amati, posisinya rata-rata tetap di sekitar tiang. Orang kedua tidak diikat apa-apa; tiap detik ia melangkah acak ke kiri atau kanan, dan langkah itu menumpuk. Lama-lama ia bisa berada di mana saja — tidak ada yang menariknya pulang.

Orang pertama adalah deret stasioner: rata-ratanya tetap, sebarannya tetap, ia selalu kembali ke pusatnya. Orang kedua adalah deret tak-stasioner — khususnya jalan acak (random walk): ia menumpuk kejutan tanpa pernah melupakannya, sehingga “tingkat rata-rata”-nya ikut bergeser sepanjang waktu.

Inilah perbedaan itu, dalam satu gambar:

Seluruh materi ini pada dasarnya menjawab tiga pertanyaan: bagaimana mengenali deret jenis mana yang kita pegang, kenapa membedakannya begitu penting, dan apa yang dilakukan kalau ternyata deret kita “menjelajah”.

Apa Itu Stasioneritas

Definisi yang dipakai di praktik adalah stasioneritas lemah (weak stationarity): sebuah deret $Y_t$ disebut stasioner kalau tiga sifatnya tidak berubah sepanjang waktu.

1. Rata-rata konstan. $E(Y_t)$ sama untuk semua waktu $t$ — tidak ada tren naik atau turun yang sistematis. (Lambang $E(\cdot)$ dibaca “nilai harapan”, yaitu rata-rata jangka panjang.)
2. Ragam konstan. Sebaran data tidak membesar atau mengecil seiring waktu; goncangannya tetap berukuran serupa.
3. Autokovarians hanya bergantung jarak. Keterkaitan antara $Y_t$ dan $Y_{t-k}$ cuma bergantung pada jarak lag $k$ (berapa periode terpaut), bukan pada waktu absolut $t$. Keterkaitan nilai hari ini dengan nilai kemarin sama saja entah kita berada di tahun 2010 atau 2026.

Deret tak-stasioner melanggar setidaknya satu sifat di atas. Pelanggar paling umum di ekonomi adalah jalan acak, yaitu deret yang nilai hari ini sama dengan nilai kemarin ditambah sebuah kejutan acak:

Tiap lambang:

• $Y_t$ = nilai deret pada waktu $t$ (misalnya harga saham hari ini).
• $Y_{t-1}$ = nilai deret satu periode sebelumnya (harga kemarin).
• $\varepsilon_t$ (dibaca “epsilon”) = kejutan atau goncangan acak pada waktu $t$ — bagian baru yang tak bisa ditebak dari masa lalu, rata-ratanya nol.

Ciri khas jalan acak: ia punya ingatan tak terbatas. Coba telusuri ke belakang — $Y_t = Y_{t-1} + \varepsilon_t = (Y_{t-2} + \varepsilon_{t-1}) + \varepsilon_t = \ldots = Y_0 + \varepsilon_1 + \varepsilon_2 + \cdots + \varepsilon_t$. Artinya nilai hari ini adalah penjumlahan seluruh kejutan sejak awal. Sekali sebuah goncangan terjadi, pengaruhnya tidak pernah meluruh; ia menempel permanen ke semua nilai masa depan. Karena kejutan terus menumpuk, ragam deret pun membesar tanpa batas seiring waktu — itu sebabnya panel kanan pada gambar di atas tampak “menjelajah”.

Akar Unit

Untuk menyatukan kasus “betah” dan “menjelajah” dalam satu persamaan, pakai model autoregresif orde satu — singkatnya AR(1), artinya nilai sekarang dijelaskan oleh satu nilai sebelumnya:

Lambang barunya cuma satu: $\rho$ (dibaca “rho”) adalah koefisien kegigihan — seberapa besar nilai kemarin terbawa ke hari ini. Seluruh sifat deret bergantung pada besar $\rho$:

Istilah “akar unit” (unit root) persis berarti $\rho = 1$ — kasus jalan acak di atas, ketika persamaan AR(1) menjadi $Y_t = Y_{t-1} + \varepsilon_t$.

Kenapa $\rho$ menentukan segalanya? Karena $\rho$ mengatur seberapa cepat sebuah kejutan dilupakan. Sebuah goncangan sebesar satu unit pada hari ini akan tersisa sebesar $\rho$ esok, $\rho^2$ lusa, $\rho^3$ hari berikutnya, dan seterusnya:

• $\rho = 0{,}5$: pengaruh kejutan menyusut $1 \to 0{,}5 \to 0{,}25 \to 0{,}125 \to \ldots$ — separuhnya hilang tiap periode (paruh-hidup tepat 1 periode). Cepat lupa.
• $\rho = 0{,}8$: menyusut $1 \to 0{,}8 \to 0{,}64 \to 0{,}512 \to \ldots$ — paruh-hidupnya sekitar 3,1 periode. Lebih lama, tetapi tetap meluruh.
• $\rho = 1$: pengaruhnya $1 \to 1 \to 1 \to 1 \to \ldots$ — tidak pernah berkurang. Inilah ingatan tak terbatas si jalan acak.

Selama $\lvert\rho\rvert < 1$, jumlah seluruh sisa kejutan terbatas (deret geometri yang konvergen), sehingga ragam deret pun terbatas dan deret kembali ke rata-rata. Begitu $\rho$ menyentuh 1, “rem”-nya hilang: kejutan tak meluruh, ragam meledak, dan deret menjadi tak-stasioner. Deret yang punya akar unit harus di-difference dulu agar bisa dianalisis — caranya kita bahas nanti.

Bahaya Regresi Palsu (Spurious Regression)

Sebelum ke cara menguji, perlu dipahami dulu kenapa kita harus repot-repot menguji. Inilah taruhannya.

Kalau dua deret tak-stasioner yang sebenarnya tidak berhubungan kita regresikan satu sama lain, regresi biasa (OLS) sering menghasilkan ilusi yang sangat meyakinkan: R-kuadrat tinggi, t-statistik besar, koefisien tampak “sangat signifikan” — padahal kedua deret itu sama sekali tak punya kaitan. Inilah regresi palsu (spurious regression), yang ditemukan Granger dan Newbold (1974). Penyebabnya: kedua deret sama-sama menumpuk kejutan dan ikut tren waktu, jadi OLS salah mengira gerak-sama-arah itu sebagai hubungan sejati.

Untuk membuktikan ini bukan teori belaka, saya jalankan simulasi: 2.000 pasang jalan acak yang benar-benar independen (masing-masing 100 titik, dibuat dari kejutan acak yang tak saling terkait), lalu tiap pasang diregresikan. Hasilnya:

Bacalah baris kedua pelan-pelan: pada hampir tiga dari empat kasus, OLS menyatakan ada hubungan signifikan antara dua deret yang sama sekali tak berhubungan. Padahal kalau uji bekerja benar, seharusnya hanya 5% yang lolos secara kebetulan. Inilah jebakan kasus pembuka — penduduk Indonesia dan pengguna internet dunia adalah dua jalan acak yang kebetulan sama-sama menanjak.

Ada tanda bahaya yang murah dideteksi: Durbin-Watson (DW) yang sangat rendah (di sini 0,17, jauh dari nilai sehat 2) menandakan residual sangat berautokorelasi — gejala khas regresi palsu. Aturan praktis Granger-Newbold: kalau $R^2 > DW$, curigai regresi palsu. Solusinya bukan menghias model, melainkan kembali ke akar masalah: pastikan deret stasioner dulu sebelum diregresikan, atau — kalau memang ada hubungan jangka panjang yang sah — pakai kointegrasi.

Cara Menguji: ADF dan KPSS

Karena mata sering tertipu (deret pendek bisa terlihat “datar” padahal punya akar unit), kita butuh uji formal. Dua uji baku justru saling melengkapi karena hipotesis nolnya berlawanan.

Augmented Dickey-Fuller (ADF)

Ide ADF berangkat dari persamaan AR(1). Kurangkan $Y_{t-1}$ dari kedua ruas $Y_t = \rho Y_{t-1} + \varepsilon_t$, lalu tulis $\gamma = \rho - 1$:

Tiap lambang:

• $\Delta Y_t = Y_t - Y_{t-1}$ = perubahan deret dari kemarin ke hari ini (selisih pertama / first difference).
• $\gamma$ (dibaca “gamma”) $= \rho - 1$. Inilah bintang utamanya: kalau $\rho = 1$ (akar unit), maka $\gamma = 0$. Menguji akar unit jadi setara dengan menguji apakah $\gamma = 0$.
• $\alpha$ (alfa) = konstanta (drift); $Y_{t-1}$ = nilai kemarin.
• $\sum_{i=1}^{p}\delta_i\,\Delta Y_{t-i}$ = beberapa suku selisih masa lalu yang ditambahkan (“Augmented” pada nama ADF) untuk membersihkan autokorelasi pada $\varepsilon_t$; banyaknya suku ($p$) dipilih lewat kriteria seperti AIC.

Hipotesisnya: $H_0$ adalah $\gamma = 0$, yaitu ada akar unit (deret tak-stasioner). Kalau $\gamma < 0$ secara meyakinkan, berarti kejutan meluruh dan deret stasioner.

• $p < 0{,}05$ → tolak $H_0$ → deret stasioner.
• $p > 0{,}05$ → gagal tolak → deret punya akar unit (tak-stasioner).

Satu peringatan penting: statistik ADF tidak boleh dibandingkan dengan nilai kritis $t$ biasa. Di bawah akar unit, statistiknya mengikuti distribusi Dickey-Fuller sendiri (nilai kritisnya lebih negatif dari $t$ biasa). Perangkat lunak sudah memakai tabel yang benar — kita tinggal membaca $p$-nya.

KPSS

KPSS (Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin, 1992) membalik hipotesisnya: $H_0$ pada KPSS adalah deret stasioner. Karena kebalikan ADF, ia berfungsi sebagai konfirmasi silang — saat keduanya sepakat, kita jauh lebih yakin.

Contoh Hitung ADF dari Nol

Mari kerjakan satu kasus kecil sampai tuntas, supaya angka ADF tidak terasa seperti kotak hitam. Ambil deret “tingkat harga” bulanan yang menanjak (12 titik) — cukup kecil untuk dihitung tangan:

Kita pakai versi ADF paling sederhana tanpa suku tambahan ($p = 0$, yang sebenarnya disebut uji Dickey-Fuller asli) agar bisa dilacak manual: regresikan $\Delta Y_t$ pada $Y_{t-1}$ dengan konstanta, lalu lihat apakah $\gamma$ berbeda dari nol.

Langkah 1 — bangun dua kolom: $\Delta Y_t$ dan $Y_{t-1}$. Selisih pertama = nilai sekarang − nilai sebelumnya; nilai $Y_{t-1}$ cukup geser deret satu langkah.

Tinggal $n = 11$ baris (titik pertama hilang karena tak punya nilai sebelumnya). Jumlah: $\sum Y_{t-1} = 1183$ dan $\sum \Delta Y_t = 16$, sehingga rata-ratanya $\overline{Y_{t-1}} = 107{,}5455$ dan $\overline{\Delta Y} = 1{,}4545$.

Langkah 2 — slope $\gamma$. Ini regresi biasa $\Delta Y$ pada $Y_{t-1}$. Pakai rumus slope yang sama persis seperti di regresi linear sederhana — simpangan-silang dibagi simpangan-kuadrat:

Langkah 3 — konstanta $\alpha$. Garis selalu lewat titik pusat data:

Langkah 4 — statistik ADF. Statistiknya adalah $t = \gamma / \mathrm{se}(\gamma)$. Dengan jumlah kuadrat residual $\text{SSE} = 36{,}9154$ dan $n - 2 = 9$ derajat kebebasan, galat bakunya $\mathrm{se}(\gamma) = 0{,}1149$, sehingga:

Langkah 5 — putuskan. Statistik −0,66 jauh kurang negatif dari nilai kritis Dickey-Fuller 5% (sekitar −3,19 untuk sampel sekecil ini), sehingga $p \approx 0{,}86$. Karena $p > 0{,}05$, kita gagal menolak $H_0$ → deret level $Y$ punya akar unit (tak-stasioner). KPSS pada deret yang sama memberi $p \approx 0{,}02$ → menolak stasioneritas. Keduanya sepakat: $Y$ tak-stasioner.

Verifikasi: adfuller(Y, maxlag=0, regression='c') di statsmodels mengembalikan statistik −0,6646 dan $p = 0{,}856$ — persis sama dengan hitung tangan kita. Bedanya, sekarang Anda tahu angka itu datang dari sebuah regresi $\Delta Y$ pada $Y_{t-1}$ yang biasa.

Differencing dan Orde Integrasi

Lalu apa yang dilakukan kalau deret ternyata tak-stasioner? Jangan diregresikan apa adanya — di-difference dulu, yaitu ambil selisih antar-periodenya:

Mengambil selisih “membuang” tren dan ingatan permanen: kalau $Y_t$ jalan acak ($Y_t = Y_{t-1} + \varepsilon_t$), maka $\Delta Y_t = \varepsilon_t$ — yang tak lain adalah kejutan murni, dan kejutan murni itu stasioner. Pada contoh kita di atas, kolom $\Delta Y_t$ (deret 2, −1, 3, 3, −1, …) sudah jauh lebih “betah” daripada $Y$ aslinya. Uji ADF pada $\Delta Y$ memberi statistik −4,49 dengan $p < 0{,}001$ → tolak $H_0$ → $\Delta Y$ stasioner. (KPSS pada $\Delta Y$ memberi $p \approx 0{,}05$ — di ambang, tetapi tak menolak stasioneritas.) Differencing satu kali sudah cukup membuat deret betah.

Dari sini lahir notasi orde integrasi, ditulis $I(d)$, yaitu berapa kali sebuah deret harus di-difference agar menjadi stasioner:

• I(0) — deret sudah stasioner sejak awal (tak perlu di-difference). Contoh: imbal hasil (return) saham.
• I(1) — stasioner setelah di-difference sekali. Contoh: harga saham, GDP, indeks harga. Deret $Y$ pada contoh kita adalah I(1).
• I(2) — perlu di-difference dua kali. Lebih jarang; biasanya muncul pada deret yang trennya pun ikut menanjak (mis. tingkat harga saat inflasi terus meningkat).

Notasi $I(d)$ inilah yang menjadi huruf “I” (Integrated) di tengah singkatan AR-I-MA, dan menentukan parameter $d$ di ARIMA. Ia juga prasyarat untuk memeriksa kointegrasi: hanya deret yang sama-sama I(1) yang layak dicek apakah punya hubungan jangka panjang yang sah.

Bereksperimen Sendiri

Geser koefisien $\rho$ dari 0,5 menuju 1,0 dan amati deret berubah dari stasioner (selalu balik ke rata-rata) menjadi jalan acak (menjelajah bebas). Aktifkan differencing untuk melihat jalan acak berubah jadi stasioner, dan perhatikan statistik ADF beserta kesimpulannya ikut berubah.

Cek Pemahaman

1. Sebuah deret mengikuti model AR(1) $Y_t = \rho\, Y_{t-1} + \varepsilon_t$. Uji ADF memberi $p = 0{,}62$, dan uji KPSS memberi $p = 0{,}01$. Deret ini stasioner atau tak-stasioner? Apa langkah Anda berikutnya?

2. (Soal transfer.) Seorang analis meregresikan indeks harga konsumen (IHK) terhadap jumlah uang beredar — keduanya menanjak terus dari tahun ke tahun. Ia melaporkan R-kuadrat 0,97 dan t-statistik 18, lalu menyimpulkan “uang beredar sangat memengaruhi inflasi”. (a) Kenapa kesimpulan ini patut dicurigai? (b) Angka diagnostik tunggal apa yang paling cepat membongkar masalahnya? (c) Apa dua cara yang benar untuk menanganinya?

Rumus di Software

Setelah paham asal-usulnya, di perangkat lunak cukup beberapa baris. Yang penting: jalankan ADF dan KPSS bersama dan baca arah hipotesisnya yang berlawanan.

# R
library(tseries); library(urca)
adf.test(y)                # ADF — H0: ada akar unit (tak-stasioner)
kpss.test(y)               # KPSS — H0: stasioner
summary(ur.df(y, type = "drift", selectlags = "AIC"))  # ADF dengan pilih lag otomatis
dy <- diff(y)              # differencing satu kali

# Python
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller, kpss
adfuller(y)                # (statistik, p-value, lag terpilih, ...)
kpss(y, regression="c")    # H0: stasioner
import numpy as np
dy = np.diff(y)            # differencing

* Stata
dfuller y, lags(4) drift   // ADF
kpss y                     // KPSS
gen dy = D.y               // selisih pertama

Excel Companion

Berkas pendamping /excel/stationarity-unit-root.xlsx memuat deret contoh di atas dengan kolom $\Delta Y_t$ dan $Y_{t-1}$ sebagai formula hidup, regresi Dickey-Fuller manual (slope $\gamma$, konstanta, dan statistik ADF) yang cocok persis dengan hitung tangan, plus cheat-sheet kode R/Stata/Python.

⬇ Unduh stationarity-unit-root.xlsx

Kesalahan Umum

Meregresikan level deret tak-stasioner. Inilah sumber regresi palsu. Selalu uji unit root sebelum meregresikan, dan kalau deret I(1), regresikan selisihnya atau pakai kointegrasi — bukan levelnya.

Percaya R-kuadrat tinggi pada deret bertren. Pada deret tak-stasioner, R-kuadrat tinggi sering palsu. Periksa Durbin-Watson: kalau $R^2 > DW$, waspada.

Over-differencing. Men-difference deret yang sebenarnya sudah stasioner justru menimbulkan masalah baru (memunculkan akar unit pada bagian MA, dan membesarkan ragam). Difference secukupnya — berhenti begitu uji menyatakan stasioner.

Mengabaikan tren deterministik. Ada beda penting antara trend-stationary (stasioner di sekitar garis tren — cukup buang trennya) dan difference-stationary (punya akar unit — harus di-difference). Pilih spesifikasi ADF yang tepat: tanpa konstanta, dengan drift, atau dengan tren.

Memakai nilai kritis $t$ biasa untuk ADF. Statistik ADF mengikuti distribusi Dickey-Fuller sendiri, yang nilai kritisnya lebih negatif. Pakai tabel/output yang benar; jangan bandingkan dengan ±1,96.

Dipakai di Dunia Nyata

• Makroekonomi Bank Indonesia. PDB, inflasi, nilai tukar Rupiah, dan jumlah uang beredar hampir selalu I(1). Uji unit root adalah langkah wajib sebelum membangun model VAR/VECM untuk transmisi kebijakan moneter — tanpa itu, hasil regresinya rawan palsu.
• Pasar modal IDX. Harga saham (mis. IHSG) lazimnya I(1) — perilaku jalan acak — sedangkan imbal hasil hariannya I(0). Fakta ini adalah dasar empiris hipotesis pasar efisien: kalau harga jalan acak, perubahan harga tak bisa diramal dari pola masa lalu.
• Peramalan permintaan. Sebelum menjalankan ARIMA atas penjualan bulanan, orde integrasi $d$ ditetapkan justru lewat uji unit root + differencing — salah menentukan $d$ membuat seluruh ramalan meleset.
• Studi pass-through nilai tukar. Menghubungkan nilai tukar ke harga impor menuntut pengecekan kointegrasi lebih dulu; uji unit root menentukan apakah kedua deret layak masuk kerangka jangka panjang itu.

Lanjutan

Stasioneritas adalah gerbang ke seluruh ekonometrika deret waktu. Begitu Anda bisa membedakan deret I(0) dari I(1) dan tahu cara membuatnya stasioner, model-model lanjutan akan terasa wajar.

• Berikutnya: ARIMA Modeling — orde integrasi $d$ yang baru Anda hitung adalah huruf “I” di ARIMA.
• Lalu: Cointegration & VECM — apa yang dilakukan saat dua deret I(1) ternyata berhubungan jangka panjang yang sah.
• Dan: VAR (Vector Autoregression) — memodelkan beberapa deret stasioner sekaligus.

Fondasi:

• Perlu menyegarkan keterkaitan antar-nilai sepanjang waktu? Balik ke Autokorelasi.
• Kapan regresi biasa boleh dipercaya? Lihat Asumsi klasik Gauss-Markov (BLUE).

Referensi

• Dickey, D. A. & Fuller, W. A. (1979), “Distribution of the Estimators for Autoregressive Time Series with a Unit Root”, Journal of the American Statistical Association.
• Kwiatkowski, D., Phillips, P. C. B., Schmidt, P. & Shin, Y. (1992), “Testing the Null Hypothesis of Stationarity against the Alternative of a Unit Root”, Journal of Econometrics.
• Granger, C. W. J. & Newbold, P. (1974), “Spurious Regressions in Econometrics”, Journal of Econometrics.