Instrumental Variable: F-stat dan tF Procedure

Seorang peneliti ingin tahu berapa imbalan dari sekolah: kalau seseorang bersekolah satu tahun lebih lama, kira-kira upahnya naik berapa? Datanya ada — lama sekolah dan upah ribuan pekerja. Ia menarik garis regresi, slope-nya positif dan besar, lalu menulis kesimpulan: “tiap tahun sekolah menaikkan upah sekian persen.”

Tetapi ada keraguan yang mengganjal. Orang yang bersekolah lebih lama mungkin juga orang yang lebih tekun, lebih cerdas, atau berasal dari keluarga yang lebih mapan. Ketekunan dan kecerdasan itu tidak tercatat dalam data, padahal keduanya menaikkan upah dengan sendirinya. Jadi ketika garis regresi menunjukkan “sekolah lebih lama → upah lebih tinggi”, sebagian dari kenaikan itu sebetulnya datang dari ketekunan yang menumpang, bukan murni dari sekolah. Garis itu melebih-lebihkan imbalan sekolah.

Pertanyaannya: adakah cara memisahkan efek sekolah yang murni dari efek ketekunan yang menumpang, padahal ketekunan sendiri tak pernah terukur? Jawabannya ada, dan namanya variabel instrumen.

Intuisi: Mencari Pendorong yang “Bersih”

Masalahnya bisa digambarkan begini. Variabel yang ingin kita ukur efeknya — sebut $X$ (lama sekolah) — bergerak karena dua dorongan: sebagian dari hal-hal yang sah kita pelajari, sebagian dari hal tercemar yang juga langsung memengaruhi hasil $Y$ (upah). Dorongan tercemar itu adalah si perancu tak teramati $U$ (ketekunan). Regresi biasa tidak bisa membedakan mana gerak $X$ yang bersih dan mana yang tercemar; ia menyalahkan semua gerak $Y$ kepada $X$, termasuk bagian yang sebetulnya ulah $U$.

Variabel instrumen menawarkan jalan keluar yang elegan. Carilah faktor ketiga, sebut $Z$, yang punya dua sifat istimewa sekaligus:

1. $Z$ menggerakkan $X$ (kalau $Z$ berubah, $X$ ikut berubah) — ini disebut relevan.
2. $Z$ tidak punya jalan lain ke $Y$ selain lewat $X$ — ini disebut eksklusi (atau eksogenitas instrumen).

Kalau $Z$ memenuhi keduanya, maka bagian dari gerak $X$ yang disebabkan oleh $Z$ dijamin bersih dari $U$ — karena $Z$ tidak ada urusannya dengan $U$. Kita lalu mengukur efek $X$ pada $Y$ hanya menggunakan bagian bersih itu, dan mengabaikan sisanya yang tercemar. Itulah inti gagasan instrumen: jangan pakai seluruh variasi $X$, pakai hanya variasi $X$ yang dipicu oleh sebuah pendorong yang kita percaya bersih.

Contoh klasik instrumen untuk lama sekolah adalah jarak rumah ke sekolah/kampus terdekat. Anak yang tinggal jauh cenderung bersekolah lebih singkat (jarak relevan terhadap lama sekolah), tetapi jarak rumah ke kampus masuk akal tidak langsung menentukan upah seseorang kelak — pengaruhnya ke upah, kalau ada, hanya lewat lama sekolah (syarat eksklusi). Jarak juga tak ada hubungannya dengan ketekunan bawaan seseorang.

Dua Syarat Instrumen yang Sah

Sebelum menghitung apa pun, sebuah instrumen harus lulus dua syarat. Satu bisa diuji dari data, satu lagi tidak.

Syarat 1 — Relevan ($Z \to X$). Instrumen harus benar-benar menggerakkan $X$. Secara teknis, koefisien $Z$ pada regresi $X$ atas $Z$ (disebut tahap pertama) harus berbeda nyata dari nol. Ini bisa diuji: lihat F-statistik tahap pertama (dibahas di bawah). Instrumen yang nyaris tidak menggerakkan $X$ disebut instrumen lemah (weak instrument) dan berbahaya — kita bahas akibatnya nanti.

Syarat 2 — Eksklusi / eksogen ($Z$ hanya ke $Y$ lewat $X$). Instrumen tidak boleh punya jalan langsung ke $Y$, dan tidak boleh berkorelasi dengan perancu $U$. Inilah syarat yang paling berat, sebab ia tidak bisa diuji dari data untuk kasus satu instrumen. Ia hanya bisa dipertahankan dengan argumen teori dan pengetahuan lapangan: kita harus meyakinkan pembaca bahwa, sungguh, satu-satunya cara $Z$ menyentuh $Y$ adalah melalui $X$. Kalau jarak ke sekolah ternyata juga menandai daerah miskin yang upahnya rendah karena alasan lain, eksklusi gugur — dan estimasi IV ikut bias.

Catatan penting. Banyak pemula mengira “instrumen yang lulus uji statistik berarti instrumen yang sah.” Salah. Uji statistik hanya menyentuh syarat relevan. Syarat eksklusi — yang justru paling sering jadi titik lemah sebuah paper — adalah urusan argumen, bukan angka. Reviewer jurnal yang baik akan menggempur justru di sini.

Estimator IV: Rasio Wald

Mulai dari kasus paling sederhana: satu variabel endogen $X$, satu instrumen $Z$, tanpa variabel kontrol lain. Dalam keadaan ini, estimator IV punya bentuk yang sangat ringkas dan bisa dihitung tangan — disebut rasio Wald:

$$\hat{\beta}_{IV} = \frac{\text{Cov}(Z, Y)}{\text{Cov}(Z, X)}$$

Tiap lambang:

• $\hat{\beta}_{IV}$ = taksiran efek $X$ pada $Y$ versi instrumen — inilah angka yang kita kejar, pengganti slope OLS yang bias.
• $\text{Cov}(Z, Y)$ = kovarians antara instrumen dan hasil, yaitu seberapa erat $Z$ dan $Y$ bergerak bersama. Dihitung $\frac{1}{n}\sum (Z_i - \bar{Z})(Y_i - \bar{Y})$, sama persis dengan pembilang slope di regresi sederhana, hanya memakai $Z$ alih-alih $X$.
• $\text{Cov}(Z, X)$ = kovarians antara instrumen dan variabel endogen — seberapa kuat $Z$ menggerakkan $X$. Kalau ini kecil (instrumen lemah), penyebut nyaris nol dan rasionya meledak liar.

Bacalah polos: estimator IV = gerak-bersama $Z$ dengan $Y$, dibagi gerak-bersama $Z$ dengan $X$. Logikanya: $Z$ menggerakkan $Y$ hanya melalui $X$ (berkat eksklusi), jadi “berapa $Y$ bergerak per gerakan $Z$” dibagi “berapa $X$ bergerak per gerakan $Z$” memberi “berapa $Y$ bergerak per gerakan $X$” — tetapi hanya untuk bagian $X$ yang bersih.

Estimator IV: Dua Tahap (2SLS)

Begitu ada variabel kontrol atau lebih dari satu instrumen, rasio Wald tak cukup. Bentuk umum yang dipakai di semua perangkat lunak adalah Two-Stage Least Squares (2SLS) — kuadrat terkecil dua tahap. Namanya menjelaskan caranya: dua regresi biasa berurutan.

Tahap pertama — regresikan $X$ pada instrumen $Z$ (plus kontrol), lalu ambil nilai prediksinya $\hat{X}$:

$$X = \pi_0 + \pi_1 Z + \eta \quad\Rightarrow\quad \hat{X} = \pi_0 + \pi_1 Z$$

Di sini $\pi_1$ (“pi-satu”) adalah seberapa kuat $Z$ menggerakkan $X$ — jantung syarat relevan. Nilai prediksi $\hat{X}$ adalah bagian $X$ yang murni dijelaskan oleh $Z$ — bagian bersih yang tadi kita cari, sudah dibersihkan dari $U$.

Tahap kedua — regresikan $Y$ pada $\hat{X}$ (bukan $X$ asli):

$$Y = \beta_0 + \beta_1 \hat{X} + \epsilon$$

Slope $\beta_1$ dari tahap kedua inilah estimator 2SLS. Karena $\hat{X}$ sudah bersih dari $U$, slope ini tidak lagi tercemar — itulah taksiran efek kausal yang kita inginkan.

Untuk kasus satu instrumen tanpa kontrol, 2SLS dan rasio Wald memberi angka yang persis sama — kita buktikan di contoh berikut. (Catatan: jangan jalankan dua tahap ini manual lalu pakai standard error dari tahap kedua — angka ketidakpastiannya akan salah. Perangkat lunak IV menghitungnya dengan benar sekaligus. Dua tahap manual hanya untuk memahami logikanya.)

Contoh Hitung dari Nol

Mari kerjakan kasus pembuka sampai tuntas dengan dataset kecil yang sengaja dibuat bersih. Dua belas pekerja. $Z$ = jarak ke kampus (kategori 1 = paling dekat, 4 = paling jauh — semakin jauh, sekolah cenderung lebih singkat). $X$ = lama sekolah (tahun). $Y$ = skor upah (indeks). Di balik data ini ada perancu $U$ (ketekunan) yang menaikkan $X$ dan $Y$ sekaligus; kita tidak mengamatinya, tetapi kita tahu efek sekolah yang sebenarnya adalah 0,5 — itulah angka yang seharusnya dipulihkan IV.

Langkah 1 — data mentah dan rata-rata.

Rata-rata: $\bar{Z} = 30/12 = 2{,}5$, $\bar{X} = 132/12 = 11$, $\bar{Y} = 138/12 = 11{,}5$.

Langkah 2 — regresi naif OLS (yang bias). Sebelum IV, hitung dulu slope OLS biasa dari $Y$ atas $X$, supaya kita lihat seberapa besar biasnya. Dengan rumus slope baku $b_1 = \sum(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y}) \big/ \sum(X_i-\bar{X})^2$:

$$b_1^{\text{OLS}} = \frac{78}{92} = 0{,}8478$$

OLS bilang efek sekolah 0,85 — jauh di atas 0,5 yang sebenarnya. Itulah bias ke atas yang kita curigai di pembuka: ketekunan yang menumpang ikut terhitung sebagai “efek sekolah”.

Langkah 3 — kolom bantu untuk instrumen. Untuk rasio Wald kita butuh dua kovarians: $Z$ dengan $X$, dan $Z$ dengan $Y$. Hitung simpangan tiap variabel dari rata-ratanya, lalu hasil kalinya.

Langkah 4 — rasio Wald. Karena kovarians = jumlah hasil kali dibagi $n$, dan $n$ sama di pembilang dan penyebut, $n$-nya saling membatalkan — kita boleh langsung membagi kedua jumlah:

$$\hat{\beta}_{IV} = \frac{\text{Cov}(Z,Y)}{\text{Cov}(Z,X)} = \frac{15{,}00}{30{,}00} = 0{,}5$$

IV memulihkan 0,5 — persis efek sekolah yang sebenarnya. Instrumen berhasil membuang bias ketekunan yang membuat OLS membengkak ke 0,85.

Langkah 5 — periksa lewat dua tahap (2SLS). Untuk meyakinkan diri, kerjakan dengan cara dua tahap. Tahap pertama, regresikan $X$ atas $Z$. Penyebutnya $\sum(Z-\bar{Z})^2 = 3(1{,}5^2) + 3(0{,}5^2) + 3(0{,}5^2) + 3(1{,}5^2) = 6{,}75 + 0{,}75 + 0{,}75 + 6{,}75 = 15$, sehingga slope-nya $\pi_1 = \sum(Z-\bar{Z})(X-\bar{X}) \big/ \sum(Z-\bar{Z})^2 = 30/15 = 2$, dan interceptnya $\pi_0 = \bar{X} - \pi_1\bar{Z} = 11 - 2 \times 2{,}5 = 6$. Persamaan tahap pertama:

$$\hat{X} = 6 + 2Z$$

Maka untuk $Z = 1,2,3,4$, prediksi $\hat{X}$ = 8, 10, 12, 14. Tahap kedua, regresikan $Y$ atas $\hat{X}$ ini; slope-nya keluar 0,5 — sama persis dengan rasio Wald. (Verifikasi penuh dengan statsmodels mengonfirmasi: tahap pertama $\hat X = 6 + 2Z$, tahap kedua $\hat\beta_1 = 0{,}5$, OLS naif $= 0{,}8478$.)

F-Statistik Tahap Pertama: Seberapa Kuat Instrumennya?

Estimator IV hanya bisa dipercaya kalau instrumennya kuat — yaitu $Z$ benar-benar menggerakkan $X$. Ukuran bakunya adalah F-statistik tahap pertama: uji apakah koefisien instrumen $\pi_1$ pada tahap pertama berbeda nyata dari nol. Untuk satu instrumen, F sama dengan kuadrat statistik-t dari $\pi_1$:

$$F = t_{\pi_1}^2$$

Pada contoh kita, regresi tahap pertama $X$ atas $Z$ menghasilkan $t_{\pi_1} = 4{,}33$, sehingga $F = 4{,}33^2 = 18{,}75$. Semakin besar F, semakin kuat instrumen, semakin tepercaya inferensi IV.

Berapa F yang cukup? Di sinilah praktik modern berbeda tajam dari buku teks lama.

• Aturan lama (Staiger–Stock 1997): $F > 10$. Selama dua dekade ini jadi ambang emas di tiap buku teks.
• Aturan modern (Lee, McCrary, Moreira, Porter 2022): $F > 104{,}7$ agar uji-t pada taraf 5% benar-benar punya ukuran 5%. Mereka menunjukkan bahwa pada $F = 15$ atau $F = 30$, uji-t standar yang mengaku “5%” sebenarnya bisa salah-tolak 15–20%. Untuk $F$ di antara 10 dan 104,7, mereka memberi prosedur tF: nilai kritis uji-t diperbesar (atau selang kepercayaan dilebarkan) sesuai F yang teramati.

Pada contoh kita $F = 18{,}75$ — lulus ambang lama, tetapi jauh di bawah ambang modern. Artinya instrumen ini “cukup” menurut buku teks lama, tetapi paper modern wajib memakai prosedur tF atau uji yang tahan-instrumen-lemah, bukan uji-t standar. Detail lengkap masalah instrumen lemah, ambang Lee dkk, dan solusi seperti uji Anderson–Rubin dibahas di artikel Weak Instruments dan Anderson-Rubin Test.

Interpretasi

Untuk contoh kita, ringkasannya:

OLS naif: 0,8478. Garis regresi biasa mengaitkan tiap tahun sekolah dengan kenaikan skor upah 0,85. Tetapi angka ini bias ke atas — ia menyerap efek ketekunan tak teramati yang ikut menaikkan sekolah dan upah.

IV/2SLS: 0,5. Setelah memakai hanya variasi sekolah yang dipicu jarak (variasi bersih), efek murni tiap tahun sekolah turun ke 0,5. Inilah taksiran kausal yang kita percaya — sepanjang jarak benar-benar memenuhi syarat eksklusi.

Selisih 0,85 vs 0,5 adalah ukuran besarnya bias akibat perancu. Ketika IV jatuh di bawah OLS seperti ini, ceritanya: “sebagian besar dari yang tampak sebagai imbalan sekolah ternyata imbalan ketekunan yang menumpang.” Pola persis inilah yang ditemukan Angrist & Krueger (1991) saat mengukur imbalan sekolah dengan instrumen kuartal kelahiran — IV mereka lebih kecil dari OLS, pertanda OLS bias ke atas.

Penting tentang ketepatan. IV membuang bias, tetapi dengan ongkos: estimasinya jauh kurang presisi daripada OLS (selang kepercayaannya lebih lebar), apalagi saat instrumen lemah. Jadi IV bukan “selalu lebih baik” — ia menukar bias dengan ketidakpastian. Pakai IV hanya kalau Anda punya alasan kuat mencurigai endogenitas dan punya instrumen yang sah.

Bereksperimen Sendiri

Geser kekuatan instrumen dan amati apa yang terjadi pada estimasi IV: saat instrumen kuat (F tinggi), estimasi stabil dan rapat; saat instrumen melemah (F menuju 10 ke bawah), estimasi melebar liar dan tertarik kembali ke arah OLS yang bias — persis bahaya instrumen lemah yang dibahas di atas.

Cek Pemahaman

1. Pada dataset kecil: $Z = 0, 0, 1, 1$, $X = 2, 4, 6, 8$, $Y = 5, 7, 11, 13$. Hitung estimator IV (rasio Wald) dari nol. Lalu tafsirkan: lebih besar atau lebih kecil dari slope OLS-nya?

Lihat jawaban

Rata-rata: $\bar{Z} = 0{,}5$, $\bar{X} = 5$, $\bar{Y} = 9$.

$Z-\bar{Z}$	$X-\bar{X}$	$Y-\bar{Y}$	$(Z-\bar{Z})(X-\bar{X})$	$(Z-\bar{Z})(Y-\bar{Y})$
−0,5	−3	−4	1,5	2,0
−0,5	−1	−2	0,5	1,0
0,5	1	2	0,5	1,0
0,5	3	4	1,5	2,0
Σ			4,0	6,0

Rasio Wald: $\hat{\beta}_{IV} = 6{,}0 / 4{,}0 = 1{,}5$.

Slope OLS: $\sum(X-\bar{X})(Y-\bar{Y}) / \sum(X-\bar{X})^2 = (12+2+2+12)/(9+1+1+9) = 28/20 = 1{,}4$. Di sini IV (1,5) sedikit lebih besar dari OLS (1,4) — pertanda OLS justru sedikit bias ke bawah pada data ini.

2. (Soal transfer.) Seorang peneliti kesehatan ingin mengukur efek olahraga rutin ($X$) pada tekanan darah ($Y$). Ia khawatir orang yang rajin olahraga juga cenderung makan sehat dan tidak merokok (perancu tak teramati). Sebagai instrumen ($Z$) ia mengusulkan jarak rumah ke pusat kebugaran terdekat. (a) Periksa syarat relevan: masuk akalkah? (b) Periksa syarat eksklusi: apa satu ancaman yang bisa membatalkannya? (c) Jika regresi tahap pertama memberi $F = 25$, apa yang harus dilaporkan peneliti menurut praktik modern?

Lihat jawaban

(a) Relevan — masuk akal. Orang yang tinggal dekat pusat kebugaran cenderung lebih sering berolahraga (akses lebih mudah). Jarak menggerakkan $X$. Ini bisa diuji lewat F tahap pertama.

(b) Eksklusi — ancaman. Jarak ke pusat kebugaran mungkin menandai lingkungan kaya/urban yang juga punya udara, pangan, atau layanan kesehatan lebih baik — yang menurunkan tekanan darah lewat jalur lain, bukan hanya lewat olahraga. Kalau begitu, $Z$ punya jalan langsung ke $Y$ dan eksklusi gugur. (Jawaban lain yang sah: dekat pusat kebugaran sering berarti dekat pusat kota yang lebih bising/stres, menaikkan tekanan darah lewat jalur lain.)

(c) F = 25 lulus ambang lama (>10) tetapi jauh di bawah ambang modern Lee dkk 2022 (>104,7). Peneliti tidak boleh memakai uji-t standar; ia harus melaporkan inferensi terkoreksi lewat prosedur tF atau uji tahan-instrumen-lemah (mis. Anderson–Rubin), dan tentu mencantumkan nilai F tahap pertamanya.

Kesalahan Umum

Menganggap instrumen yang lulus uji = instrumen yang sah. Uji statistik hanya menyentuh syarat relevan. Syarat eksklusi — paling sering jadi celah sebuah paper — tidak bisa diuji untuk satu instrumen; ia butuh argumen teori yang kuat. Banyak penolakan jurnal terjadi justru di sini.

Memakai $F > 10$ sebagai tanda “aman”. Aturan Staiger–Stock 1997 itu sudah usang untuk inferensi. Praktik modern (Lee dkk 2022) menuntut $F > 104{,}7$ agar uji-t 5% benar-benar 5%; di antara 10 dan 104,7, pakai prosedur tF.

Menghitung dua tahap manual lalu memakai standard error tahap kedua. Slope-nya benar, tetapi standard error-nya salah karena tidak memperhitungkan bahwa $\hat{X}$ ditaksir, bukan diamati. Selalu pakai perintah IV bawaan perangkat lunak yang menghitung ketidakpastian dengan benar.

Mengira IV selalu lebih baik dari OLS. IV membuang bias tetapi menambah ketidakpastian (selang kepercayaan jauh lebih lebar). Kalau tidak ada masalah endogenitas, OLS justru lebih presisi. Pakai IV hanya saat endogenitas benar-benar dicurigai dan instrumennya sah.

Memakai instrumen lemah tanpa koreksi. Saat instrumen lemah, estimasi IV bisa lebih bias daripada OLS dan distribusinya menyimpang jauh dari normal. Periksa F, dan kalau lemah, beralih ke metode tahan-instrumen-lemah.

Dipakai di Dunia Nyata

• Ekonomi pembangunan & kebijakan. Imbalan dari sekolah (instrumen: jarak ke sekolah, kuartal kelahiran ala Angrist–Krueger 1991, reformasi wajib belajar) — fondasi banyak kebijakan pendidikan, termasuk evaluasi program di Indonesia.
• Ekonomi kesehatan. Efek merokok, konsumsi alkohol, atau berat lahir pada hasil kesehatan, dengan instrumen seperti pajak rokok atau jarak ke fasilitas — saat perilaku jelas endogen.
• Keuangan & korporat. Efek struktur modal, tata kelola, atau kepemilikan institusional pada kinerja perusahaan kerap diestimasi dengan IV, karena variabel-variabel ini ditentukan bersama-sama dengan kinerja (simultanitas).
• Evaluasi program pemerintah. Saat penempatan program tidak acak, instrumen (mis. aturan kelayakan, jarak administratif) dipakai untuk memulihkan efek kausal — relevan untuk evaluasi bantuan sosial dan infrastruktur di Indonesia.

Lanjutan

Variabel instrumen adalah salah satu pilar inferensi kausal modern. Begitu logika “pakai hanya variasi yang bersih” ini terpegang, banyak metode lanjutan akan terasa sebagai variasinya.

• Sebelumnya: Apa itu endogeneity — penyakit (variabel terabaikan, simultanitas, salah ukur) yang menjadi alasan keberadaan IV.
• Pendalaman: Weak Instruments (Threshold Lee 2022) — apa yang terjadi saat instrumen lemah dan ambang F modern secara tuntas; lalu Anderson-Rubin Test — inferensi yang tetap sah bahkan saat instrumen lemah.
• Alternatif untuk endogenitas: Panel Data: Fixed Effects vs Random Effects menyingkirkan perancu yang tetap antarwaktu, dan Modern DiD: Callaway-Sant’Anna 2021 memanfaatkan perubahan kebijakan.

Reference

• Angrist, J. D., & Krueger, A. B. (1991). “Does compulsory school attendance affect schooling and earnings?” Quarterly Journal of Economics, 106(4), 979–1014.
• Staiger, D., & Stock, J. H. (1997). “Instrumental variables regression with weak instruments.” Econometrica, 65(3), 557–586.
• Lee, D. S., McCrary, J., Moreira, M. J., & Porter, J. (2022). “Valid t-ratio inference for IV.” American Economic Review, 112(10), 3260–3290.
• Andrews, I., Stock, J. H., & Sun, L. (2019). “Weak instruments in instrumental variables regression: Theory and practice.” Annual Review of Economics, 11, 727–753.