Heteroskedastisitas (Breusch-Pagan & White)

Anda meregresi pengeluaran rumah tangga terhadap pendapatannya. Logikanya sederhana dan masuk akal: makin tinggi pendapatan, makin tinggi pengeluaran. Tetapi ada satu hal yang terjadi diam-diam di balik angka.

Rumah tangga berpendapatan rendah pola pengeluarannya seragam — hampir semua uang habis untuk kebutuhan pokok, tidak banyak ruang untuk berbeda satu sama lain. Rumah tangga berpendapatan tinggi sebaliknya: ada yang sangat hemat, ada yang berfoya-foya, ada yang menabung besar. Pada tingkat pendapatan yang sama, jarak antara pengeluaran sebenarnya dan pengeluaran yang “diperkirakan model” jauh lebih lebar. Semburat penyimpangan di sekitar garis regresi melebar seiring naiknya pendapatan.

Itulah heteroskedastisitas. Akibatnya menarik dan sering disalahpahami: bukan garis regresinya yang salah, melainkan ukuran ketidakpastian di sekitar garis itu. Dan kalau ukuran ketidakpastian salah, seluruh kesimpulan “signifikan atau tidak” ikut menyesatkan. Kabar baiknya, deteksinya mudah dan obatnya cuma satu baris kode.

Intuisi: Ragam Galat yang Tidak Konstan

Setiap regresi mengandung galat (error): bagian dari $Y$ yang tidak dijelaskan oleh garis. Dalam praktik kita tidak pernah melihat galat sejati, tetapi kita melihat bayangannya — yaitu sisa $e = y - \hat{y}$, selisih antara nilai aktual dan nilai prediksi garis.

Bayangkan dua keadaan saat kita memandang awan titik di sekitar garis regresi:

• Ragam galat seragam (homoskedastik). Titik-titik tersebar dengan lebar pita yang kira-kira sama di sepanjang garis, dari kiri ke kanan. Seberapa pun nilai $x$, ketidakpastian di sekitar prediksi serupa.
• Ragam galat tidak seragam (heteroskedastik). Lebar pita berubah. Pada kasus pengeluaran tadi, pita sempit di kiri (pendapatan rendah, pengeluaran seragam) lalu membuka melebar ke kanan (pendapatan tinggi, pengeluaran liar) — membentuk corong atau kipas.

Inilah seluruh inti materi ini dalam satu gambar:

Kata “homoskedastik” berasal dari Yunani: homo (sama) + skedasis (sebaran). “Hetero” artinya berbeda. Jadi homoskedastik = sebaran sama, heteroskedastik = sebaran berbeda. Yang dimaksud “sebaran” di sini adalah sebaran galat, bukan sebaran $X$ atau $Y$ itu sendiri.

Apa Itu Heteroskedastisitas — Secara Formal

Asumsi Gauss-Markov yang kelima menuntut homoskedastisitas: ragam galat sama untuk setiap nilai $X$.

Mari baca lambangnya polos, satu per satu:

• $u_i$ = galat observasi ke-$i$ — bagian $Y$ yang tidak dijelaskan model. Bayangannya yang terukur adalah sisa $\hat{u}_i = e_i = y_i - \hat{y}_i$.
• $\text{Var}(u_i \mid X_i)$ dibaca “ragam galat, dengan syarat nilai $X$ tertentu” — yaitu seberapa lebar galat berhamburan pada satu nilai $X$.
• $\sigma^2$ (dibaca “sigma kuadrat”) = sebuah angka tunggal yang sama untuk semua observasi. Tidak ada indeks $i$ pada $\sigma^2$ — itulah inti homoskedastisitas: satu lebar untuk semua.

Heteroskedastisitas adalah pelanggarannya. Ragam galat bukan lagi satu angka, melainkan berubah-ubah menurut observasi:

Perhatikan indeks $i$ yang kini menempel pada $\sigma^2$. Itu menandakan tiap observasi (atau tiap tingkat $X$) boleh punya lebar sebaran galat sendiri. Pada kasus pengeluaran, $\sigma_i^2$ membesar seiring naiknya pendapatan.

Akibatnya: koefisien aman, galat baku rusak

Inilah bagian yang paling sering disalahpahami. Mari pisahkan dengan tegas:

Maknanya: OLS tetap menebak nilai koefisien dengan benar — garis regresi tidak bergeser, slope dan intercept tetap pada tempatnya. Yang rusak adalah rumus galat baku baku. Rumus itu diturunkan dengan mengasumsikan ragam galat konstan ($\sigma^2$). Saat ragam sebenarnya berubah-ubah, rumus itu memberi galat baku yang keliru — pada banyak kasus terlalu kecil, sehingga uji-$t$ terlihat besar dan nilai-$p$ terlihat kecil. Anda mengira hasilnya signifikan padahal bukti sebenarnya lebih lemah.

Singkatnya: angka koefisien benar, tetapi ukuran ketidakpastiannya salah. Itu sebabnya kita tidak perlu membuang model — cukup memperbaiki cara menghitung galat bakunya.

Istilah BLUE (Best Linear Unbiased Estimator, penaksir linear takbias terbaik) dibahas di Asumsi Klasik Gauss-Markov. Saat heteroskedastisitas muncul, OLS kehilangan “Best”-nya (ada penaksir lain yang lebih efisien), tetapi tetap “Unbiased” — itu sebabnya koefisien tetap dipercaya.

Cara Deteksi

Ada tiga cara, dan idealnya dipakai berurutan: lihat dulu dengan mata, baru perkuat dengan uji formal.

1. Plot sisa terhadap nilai prediksi

Cara termurah dan paling informatif. Buat grafik dengan sisa $\hat{u}_i$ (atau $\hat{u}_i^2$) di sumbu tegak dan nilai prediksi $\hat{y}_i$ di sumbu mendatar. Tafsirnya:

• Pita seragam (sebar acak dengan lebar tetap) → tanda homoskedastisitas. Bagus.
• Bentuk corong (sempit di satu sisi, lebar di sisi lain) → tanda heteroskedastisitas. Itulah persis pola pada gambar corong di atas.

Selalu lihat plot ini lebih dulu sebelum uji formal, karena mata bisa menangkap pola yang luput dari uji — termasuk pola melengkung atau gumpalan yang menandakan masalah lain.

2. Uji Breusch-Pagan

Gagasannya elegan: kalau ragam galat berubah-ubah menurut $X$, maka sisa kuadrat $\hat{u}_i^2$ (ukuran besar-kecilnya galat) seharusnya bisa diramalkan oleh $X$. Kalau homoskedastik, $X$ tidak boleh punya daya ramal apa pun atas $\hat{u}_i^2$. Langkahnya:

1. Jalankan OLS biasa, ambil sisanya $\hat{u}_i = y_i - \hat{y}_i$.
2. Kuadratkan tiap sisa, lalu jalankan regresi bantu (auxiliary regression): $\hat{u}_i^2$ sebagai variabel terikat, semua $X$ sebagai variabel bebas. Catat $R^2$-nya, sebut $R^2_{\text{aux}}$.
3. Hitung statistik pengganda Lagrange (Lagrange Multiplier):

Lambangnya: $n$ = banyak observasi; $R^2_{\text{aux}}$ = koefisien determinasi regresi bantu langkah 2 — proporsi variasi $\hat{u}_i^2$ yang bisa dijelaskan oleh $X$.

4. Di bawah hipotesis nol $H_0$ (homoskedastik), $LM$ mengikuti sebaran khi-kuadrat dengan derajat bebas $k$ = banyak variabel penjelas di regresi bantu: $LM \sim \chi^2_k$. Kalau $LM$ melebihi nilai kritis (atau nilai-$p < 0{,}05$), tolak $H_0$ — ada heteroskedastisitas.

Logika intuitifnya: kalau $X$ benar-benar bisa meramalkan besar-kecilnya sisa kuadrat ($R^2_{\text{aux}}$ besar), maka ragam galat memang bergantung pada $X$ — itulah definisi heteroskedastisitas.

3. Uji White

Breusch-Pagan hanya menangkap heteroskedastisitas yang linear terhadap $X$. Uji White lebih umum: ia meregresi $\hat{u}_i^2$ bukan hanya pada $X$, tetapi juga pada $X^2$ dan perkalian antar-$X$ (suku interaksi). Dengan begitu White bisa menangkap pola ragam yang melengkung atau bergantung pada gabungan beberapa variabel.

Harganya: White memakai jauh lebih banyak parameter, jadi boros derajat bebas. Pada sampel kecil ia bisa kehabisan tenaga (kurang kuat mendeteksi). Aturan praktis: pakai White kalau sampel besar dan Anda curiga ragam berpola non-linear; pakai Breusch-Pagan kalau sampel kecil atau Anda menduga ragam naik mulus seiring $X$.

Contoh Hitung dari Nol

Mari kerjakan uji Breusch-Pagan sampai tuntas pada data kecil agar tiap angka transparan. Delapan rumah tangga; $X$ = pendapatan (juta Rp per bulan), $Y$ = pengeluaran (juta Rp per bulan). Data sengaja dirancang heteroskedastik — perhatikan sisanya nanti makin liar ke kanan.

Langkah 1 — regresi OLS biasa. Dengan rumus slope dan intercept dari regresi linear sederhana, dari data ini didapat:

Artinya tiap tambahan satu juta rupiah pendapatan dikaitkan dengan kenaikan pengeluaran sekitar 0,717 juta rupiah. Sekarang kita hitung sisa tiap rumah tangga, $\hat{u}_i = y_i - \hat{y}_i$, lalu kuadratkan:

Dua hal patut diperhatikan. Pertama, jumlah sisa selalu nol ($\sum \hat{u}_i \approx 0$) — sifat baku OLS, sama seperti jumlah simpangan dari rata-rata selalu nol di variabilitas. Itulah kenapa kita memakai sisa kuadrat, bukan sisa mentah, untuk mengukur besar galat. Kedua, lihat kolom $\hat{u}_i^2$: angkanya kecil di baris atas (pendapatan rendah: 0,028; 0,111) lalu membengkak di baris bawah (pendapatan tinggi: 3,361; 2,351). Inilah corong itu, dalam bentuk angka.

Langkah 2 — regresi bantu. Sekarang jadikan $\hat{u}_i^2$ sebagai variabel terikat dan $x$ sebagai variabel bebas, lalu regresi. Hasilnya:

Slope regresi bantu positif (0,212): makin tinggi pendapatan, makin besar sisa kuadrat — persis dugaan kita. Dan $R^2_{\text{aux}} = 0{,}6819$ berarti pendapatan menjelaskan sekitar 68% variasi besar-kecilnya sisa kuadrat. Itu daya ramal yang besar, pertanda kuat heteroskedastisitas.

Langkah 3 — statistik LM.

Langkah 4 — keputusan. Regresi bantu hanya punya satu variabel penjelas ($x$), jadi derajat bebas $k = 1$. Nilai kritis khi-kuadrat $\chi^2_{1;\,0{,}05} = 3{,}84$. Karena $LM = 5{,}455 > 3{,}84$ (nilai-$p = 0{,}020 < 0{,}05$), kita tolak $H_0$ homoskedastisitas. Data ini memang heteroskedastik — sesuai rancangan.

Catatan: pada delapan observasi ini uji Breusch-Pagan kebetulan masih bisa menolak $H_0$, tetapi sampel sekecil ini hanya untuk peragaan langkah. Dalam praktik nyata, uji heteroskedastisitas baru layak dipercaya pada sampel yang jauh lebih besar (puluhan sampai ratusan observasi).

Contoh kedua: membaca angka jadi

Anda tidak selalu menghitung dari nol; sering Anda hanya menerima keluaran. Misalkan sebuah regresi dengan $n = 100$ observasi dan satu variabel penjelas, regresi bantunya memberi $R^2_{\text{aux}} = 0{,}12$. Maka:

Dengan $k = 1$, nilai kritis $\chi^2_{1;\,0{,}05} = 3{,}84$. Karena $12{,}0 > 3{,}84$ (nilai-$p \approx 0{,}0005$), tolak $H_0$: ada heteroskedastisitas. Begitulah cara cepat menafsirkan keluaran uji.

Apa yang Rusak: Galat Baku, Bukan Slope

Mari buktikan klaim “koefisien aman, galat baku rusak” pada data delapan rumah tangga tadi. Slope tetap $b_1 = 0{,}717$ — angkanya sama persis apa pun cara kita menghitung galat baku. Yang berbeda hanyalah galat bakunya:

Galat baku baku (0,094) lebih kecil dari yang kukuh (0,136). Akibatnya uji-$t$ baku (7,63) terlihat lebih besar dari yang sebenarnya sahih (5,28) — galat baku baku terlalu optimis. Pada kasus ini slope tetap signifikan dengan kedua cara, jadi kesimpulan akhirnya tidak berubah. Namun pada kasus yang lebih genting, galat baku yang terlalu kecil bisa membuat sebuah hubungan tampak signifikan padahal sebenarnya tidak — itulah bahaya nyata heteroskedastisitas.

Solusi: Galat Baku Kukuh

Karena yang rusak hanya galat baku, obatnya cukup memperbaiki cara menghitung galat baku — tanpa mengusik koefisien.

Praktik baku 2026 jelas: jangan buang model, cukup pakai galat baku kukuh (heteroskedasticity-robust standard errors). Koefisien tidak berubah, hanya galat baku yang dikoreksi agar sahih. Untuk sampel berukuran sedang, varian HC3 lebih disarankan daripada HC1 karena lebih konservatif (galat baku sedikit lebih besar, lebih aman) saat sampel tidak terlalu besar. Rincian lengkap varian HC1–HC4, galat baku berkelompok, dan Newey-West ada di Robust Standard Errors.

WLS (Weighted Least Squares) memang lebih efisien — kalau bobotnya benar. Masalahnya, bobot yang benar menuntut kita tahu persis bentuk ragam galatnya, yang jarang terjadi. Bobot keliru malah memperburuk keadaan. Itu sebabnya galat baku kukuh menjadi pilihan aman: ia tidak menuntut kita menebak bentuk ragam.

Visualisasi Interaktif

Geser tingkat heteroskedastisitas dan amati corong terbentuk, lalu bandingkan galat baku baku dengan galat baku kukuh — keduanya makin berbeda saat ragam galat makin tak konstan, sementara koefisien $\hat{\beta}$ tetap pada tempatnya.

Cara Cek di Perangkat Lunak

# R
m <- lm(y ~ x, data = dat)
library(lmtest); library(sandwich)
bptest(m)                                    # Breusch-Pagan
bptest(m, ~ x + I(x^2), data = dat)          # versi White
coeftest(m, vcov = vcovHC(m, type = "HC3"))  # solusi: galat baku kukuh

* Stata
reg y x
estat hettest          // Breusch-Pagan
estat imtest, white    // uji White
reg y x, robust        // solusi: galat baku kukuh

# Python
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.stats.diagnostic import het_breuschpagan, het_white
het_breuschpagan(m.resid, m.model.exog)      # Breusch-Pagan
m2 = sm.OLS(y, X).fit(cov_type='HC3')        # solusi: galat baku kukuh

Cek Pemahaman

1. Sebuah regresi dengan $n = 150$ observasi dan dua variabel penjelas diuji Breusch-Pagan. Regresi bantu (sisa kuadrat terhadap kedua variabel) memberi $R^2_{\text{aux}} = 0{,}05$. Hitung statistik $LM$, bandingkan dengan nilai kritis, lalu simpulkan. (Nilai kritis $\chi^2_{2;\,0{,}05} = 5{,}99$.)

2. (Soal transfer.) Seorang mahasiswa meregresi laba perusahaan terhadap ukuran perusahaan (total aset) untuk 80 emiten BEI. Plot sisa terhadap prediksi membentuk corong yang jelas membuka ke kanan. Ia panik dan berniat membuang lima perusahaan terbesar agar plotnya “rapi”, lalu menjalankan ulang regresinya. (a) Apa diagnosis dari plot corong itu? (b) Apakah membuang lima perusahaan terbesar tindakan yang tepat? (c) Apa langkah yang benar, dan apakah koefisiennya akan berubah karenanya?

Kesalahan Umum

Mengira heteroskedastisitas membiaskan koefisien. Tidak. Koefisien tetap takbias. Yang rusak hanya galat baku. Maka tidak perlu mengubah model — cukup perbaiki galat bakunya.

Membuang observasi “pencilan” untuk meratakan ragam. Itu menghapus informasi nyata. Heteroskedastisitas sering memang sifat alami data (pengeluaran rumah tangga, laba perusahaan, upah). Pakai galat baku kukuh, jangan menyensor data.

Memakai WLS tanpa tahu bentuk ragam. WLS hanya lebih efisien kalau bobotnya benar. Bobot keliru justru memperburuk taksiran. Galat baku kukuh lebih aman sebagai pilihan baku.

Hanya mengandalkan uji formal tanpa plot. Breusch-Pagan bisa gagal menangkap pola non-linear. Plot sisa terhadap prediksi sering mengungkap pola yang luput dari uji formal — selalu lihat plotnya dulu.

Lupa melaporkan jenis galat baku. Penelaah akan bertanya, “Galat baku apa yang dipakai?” Menjawab “OLS baku” untuk data lintas-individu (cross-section) adalah tanda bahaya — hampir semua data lintas-individu menuntut galat baku kukuh.

Dipakai di Dunia Nyata

Ekonomi rumah tangga (SUSENAS BPS). Regresi konsumsi terhadap pendapatan hampir selalu heteroskedastik: rumah tangga kaya jauh lebih beragam pola konsumsinya. Galat baku kukuh sudah jadi syarat baku di jurnal ekonomi pembangunan Indonesia.

Keuangan perusahaan (data emiten BEI). Regresi dengan ukuran perusahaan sebagai prediktor hampir pasti heteroskedastik — perusahaan besar punya ragam laba, arus kas, dan imbal hasil yang jauh lebih lebar. Heteroskedastisitas yang sistematis seperti ini wajib ditangani dengan galat baku kukuh.

Upah dan pendidikan (SAKERNAS). Ragam upah membesar pada jenjang pendidikan tinggi karena imbal hasil pendidikan makin beragam. Ini contoh klasik dalam ekonomi ketenagakerjaan, dan menjadi alasan utama galat baku kukuh menjadi praktik baku di studi upah.

Lanjutan

Heteroskedastisitas adalah satu dari tiga gangguan utama yang merusak galat baku. Dua saudaranya:

• Autokorelasi (Durbin-Watson, Breusch-Godfrey) — galat berkorelasi lintas waktu, masalah khas data deret waktu.
• Clustered Standard Errors — galat berkorelasi di dalam kelompok (mis. siswa dalam satu sekolah, tahun dalam satu provinsi).

Obat untuk ketiganya bermuara di satu tempat:

• Robust Standard Errors — rincian varian HC1–HC4, galat baku berkelompok, dan Newey-West.

Fondasi:

• Asumsi Klasik Gauss-Markov (BLUE) — tempat asumsi homoskedastisitas berasal.
• Diagnostik Regresi — peta lengkap pemeriksaan asumsi regresi.

Reference

• Breusch, T. S. & Pagan, A. R. (1979), “A Simple Test for Heteroscedasticity and Random Coefficient Variation”, Econometrica, 47(5), 1287–1294.
• White, H. (1980), “A Heteroskedasticity-Consistent Covariance Matrix Estimator and a Direct Test for Heteroskedasticity”, Econometrica, 48(4), 817–838.
• MacKinnon, J. G. & White, H. (1985), “Some Heteroskedasticity-Consistent Covariance Matrix Estimators with Improved Finite Sample Properties”, Journal of Econometrics, 29(3), 305–325.
• Wooldridge, J. M. (2019), Introductory Econometrics: A Modern Approach, 7th ed., Ch. 8.