Heckman Selection Model

Anda ingin tahu apa yang menentukan upah perempuan: pendidikan, pengalaman, dan seterusnya. Anda kumpulkan data, jalankan regresi, dapat angka. Tetapi ada satu hal yang luput: data upah Anda hanya berisi perempuan yang bekerja. Perempuan yang memilih tidak bekerja tidak punya upah yang bisa dicatat, jadi mereka lenyap dari data sebelum analisis dimulai.

Masalahnya bukan sekadar datanya berkurang. Masalahnya, keputusan untuk bekerja itu tidak acak. Perempuan yang memperkirakan upahnya akan tinggi cenderung lebih mau bekerja; yang memperkirakan upahnya rendah cenderung memilih di rumah. Maka sampel yang tersisa di tangan Anda condong ke arah orang-orang berpotensi upah tinggi. Regresi pada sampel pincang ini akan memberi gambaran yang keliru tentang seluruh populasi — bukan karena rumusnya salah, melainkan karena pintu masuk ke datanya tidak adil.

Inilah bias seleksi sampel. James Heckman memenangkan Hadiah Nobel Ekonomi tahun 2000 sebagian karena merumuskan cara menambal kebocoran ini: modelkan proses “siapa yang masuk sampel” secara terbuka, lalu pakai hasilnya untuk mengoreksi regresi utama.

Intuisi: Pintu Masuk yang Tidak Adil

Bayangkan dua perempuan dengan pendidikan dan pengalaman yang persis sama. Di atas kertas, model memprediksi upah mereka sama. Tetapi yang satu memutuskan bekerja dan yang lain tidak. Apa yang membedakan? Sesuatu yang tidak tercatat di data Anda — mungkin ambisi, kesempatan, dorongan keluarga, atau tawaran gaji yang kebetulan datang. Sebut saja faktor tak teramati ini.

Kalau faktor tak teramati yang mendorong seseorang bekerja juga faktor yang mendorong upahnya tinggi, terjadi masalah. Sampel pekerja Anda jadi penuh orang-orang yang “faktor tak teramatinya bagus”. Galat regresi mereka — selisih antara upah nyata dan prediksi model — rata-rata jadi positif, bukan nol. Padahal regresi biasa (OLS) berdiri di atas asumsi galat rata-rata nol. Asumsi itu pecah, dan koefisien jadi bias.

Kunci Heckman: seberapa “terpilih” seseorang bisa diukur. Orang yang nyaris pasti bekerja (banyak faktor pendorong) membawa bias berbeda dengan orang yang nyaris tidak bekerja tetapi akhirnya bekerja juga. Kalau kita bisa menghitung satu angka yang menangkap “seberapa terseleksi” tiap orang, kita bisa memasukkannya ke regresi sebagai pengoreksi. Angka itu disebut inverse Mills ratio.

Inilah gambaran masalahnya dalam satu diagram:

Seleksi Bukan Sensoring

Sebelum lanjut, satu pembedaan yang sering dikacaukan. Heckman menangani seleksi, bukan sensoring. Keduanya soal data yang “terpotong”, tetapi cara terpotongnya berbeda dan obatnya pun berbeda.

Contoh sensoring: Anda mencatat pengeluaran rumah tangga untuk rokok. Rumah tangga yang tidak merokok tercatat dengan nilai nol — mereka tetap ada di data, hanya nilainya menumpuk di nol. Itu kasus Tobit.

Contoh seleksi: Anda mencatat upah. Perempuan yang tidak bekerja tidak punya baris di tabel upah sama sekali — mereka raib. Itu kasus Heckman.

Salah mengira seleksi sebagai sensoring (atau sebaliknya) berarti salah memilih obat, dan koreksinya jadi keliru.

Struktur Dua Persamaan

Heckman memodelkan dua proses sekaligus, bukan satu. Yang pertama menjelaskan siapa yang masuk sampel, yang kedua menjelaskan berapa hasilnya bagi yang masuk.

Persamaan seleksi (siapa yang masuk)

Ada peubah tersembunyi $S_i^{*}$ — anggap “kecenderungan bersih untuk bekerja”. Kita tidak melihatnya langsung; kita hanya melihat hasil ya/tidaknya. Seseorang masuk sampel ($S_i = 1$) jika kecenderungan itu melewati ambang nol:

Tiap lambang, polos:

• $S_i$ = penanda apakah orang ke-$i$ masuk sampel hasil. $S_i = 1$ berarti masuk (mis. bekerja), $S_i = 0$ berarti tidak. Contoh: dari 10 perempuan, 6 bekerja → enam $S_i = 1$, empat $S_i = 0$.
• $Z_i$ = peubah yang menjelaskan keputusan masuk. Mis. jumlah anak balita di rumah — makin banyak, makin kecil peluang bekerja.
• $\gamma_0, \gamma_1$ (dibaca “gamma”) = koefisien persamaan seleksi. $\gamma_1$ mengukur seberapa kuat $Z$ menggeser keputusan.
• $v_i$ = galat seleksi — semua hal tak teramati yang ikut menentukan keputusan masuk (ambisi, kesempatan).

Karena $S_i$ hanya bernilai 0 atau 1, persamaan ini diestimasi dengan probit (lihat logit, probit, tobit) memakai seluruh observasi — baik yang bekerja maupun tidak.

Persamaan hasil (berapa hasilnya)

Inilah yang sebenarnya ingin kita ketahui, misalnya upah:

• $Y_i$ = hasil yang diteliti, mis. logaritma upah orang ke-$i$. Hanya teramati jika $S_i = 1$. Bagi yang tidak bekerja, $Y_i$ kosong.
• $X_i$ = peubah penjelas hasil, mis. lama pendidikan.
• $\beta_0, \beta_1$ (dibaca “beta”) = koefisien yang kita kejar. $\beta_1$ = efek pendidikan terhadap upah.
• $u_i$ = galat hasil — hal tak teramati yang menggeser upah.

Akar masalahnya: dua galat berkorelasi

Bias muncul kalau galat seleksi $v_i$ dan galat hasil $u_i$ berjalan beriringan. Hubungan ini diukur korelasi $\rho$ (dibaca “rho”):

• $\rho = 0$: keputusan masuk tidak ada kaitannya dengan tinggi-rendahnya upah → tidak ada bias, OLS biasa sah.
• $\rho \neq 0$: faktor tak teramati yang mendorong masuk juga mendorong upah → OLS pada subsampel terpilih bias.

Fakta kunci yang bisa dibuktikan: pada subsampel terpilih, galat hasil tidak lagi rata-rata nol, melainkan

dengan $\lambda_i$ angka “seberapa terseleksi” yang akan kita kenalkan sebentar lagi. Inilah resep biasnya — dan sekaligus resep obatnya: kalau $\lambda_i$ bisa dihitung, masukkan saja ke regresi sebagai peubah tambahan, maka galatnya kembali rata-rata nol.

Solusi Dua-Tahap

Heckman dua-tahap (sering disebut Heckit) mengubah ide di atas jadi prosedur kerja.

Tahap 1 — probit seleksi, lalu hitung inverse Mills ratio

Jalankan probit $S$ atas $Z$ (dan peubah lain) memakai semua observasi. Dari probit ini, tiap orang punya indeks seleksi $a_i = \hat\gamma_0 + \hat\gamma_1 Z_i$ — semacam skor “seberapa condong dia masuk sampel”. Dari indeks itu hitung inverse Mills ratio (IMR), sebut $\lambda_i$:

Tiap lambang, polos:

• $\phi(a_i)$ (huruf “phi” kecil) = tinggi kurva normal baku di titik $a_i$ — kepadatan peluang. Contoh: $\phi(0{,}5) = 0{,}3521$.
• $\Phi(a_i)$ (huruf “Phi” besar) = luas di bawah kurva normal sampai $a_i$ — peluang kumulatif, yaitu peluang seseorang dengan indeks itu masuk sampel. Contoh: $\Phi(0{,}5) = 0{,}6915$ (sekitar 69%).
• $\lambda_i$ = IMR untuk orang ke-$i$. Untuk $a_i = 0{,}5$: $\lambda = 0{,}3521 / 0{,}6915 = 0{,}5092$.

Bagaimana membaca $\lambda_i$? Ia mengukur seberapa “terpaksa terpilih” seseorang. Orang yang nyaris pasti masuk (indeks tinggi) tidak membawa kejutan, jadi IMR-nya kecil. Orang yang mestinya hampir tidak masuk tetapi tetap masuk membawa banyak “faktor tak teramati istimewa”, jadi IMR-nya besar. Angka ini menurun rapi seiring indeks naik:

Makin tinggi indeks (makin pasti seseorang terpilih), makin kecil koreksi yang dibutuhkan — masuk akal: kalau hampir semua orang seperti dia ikut masuk, sampelnya tidak terlalu pincang untuk tipe itu.

Tahap 2 — regresi hasil dengan IMR sebagai pengoreksi

Tambahkan $\lambda_i$ sebagai peubah penjelas tambahan ke persamaan hasil, dan jalankan OLS hanya pada yang terpilih:

• $\theta$ (dibaca “theta”) = koefisien IMR. Karena secara teori $\theta = \rho\,\sigma_u$, ia menjadi uji langsung ada-tidaknya bias seleksi: jika $\theta$ berbeda nyata dari nol, seleksi memang masalah; jika tidak, OLS biasa sudah cukup.
• $\varepsilon_i$ = galat baru yang — berkat tambahan $\lambda_i$ — sudah kembali rata-rata nol pada subsampel, sehingga $\hat\beta_1$ kini tidak bias.

Gampangnya: $\lambda_i$ “menyedot keluar” bagian galat yang tadinya menempel pada $X$, sehingga $\beta_1$ bersih kembali.

Visualisasi Interaktif

Geser korelasi seleksi-hasil ($\rho$) dan ketatnya seleksi, lalu amati: garis OLS subsampel (merah) menyimpang dari garis benar (hitam putus-putus) saat $\rho$ naik, sedangkan estimasi Heckman menariknya kembali.

Coba tiga hal:

1. Naikkan $\rho$ ke nilai tinggi → OLS subsampel menyimpang makin jauh dari nilai benar.
2. Perhatikan koreksi Heckman menarik estimasi kembali mendekati garis benar.
3. Setel $\rho = 0$ → tidak ada bias seleksi; OLS dan Heckman menyatu.

Contoh Hitung dari Nol

Mari telusuri prosesnya dengan angka. Kita pakai data simulasi 4.000 orang, dengan nilai benar yang kita tahu: $\beta_1 = 0{,}50$ (efek pendidikan terhadap log-upah). Peubah seleksinya $Z$ = jumlah anak balita, yang memengaruhi keputusan bekerja tetapi tidak langsung memengaruhi upah — inilah exclusion restriction kita. Korelasi galat $\rho = 0{,}7$ (cukup tinggi). Dari 4.000 orang, 1.815 (45,4%) yang bekerja.

Langkah 0 — kalau kita abaikan masalahnya. Jalankan OLS biasa hanya pada 1.815 yang bekerja:

Jauh meleset dari 0,50 — meremehkan efek pendidikan hampir sepertiga. (Sebagai pembanding, kalau saja kita bisa memakai seluruh 4.000 orang — yang dalam praktik mustahil karena upah yang tak bekerja tidak ada — OLS memberi 0,516, dekat ke nilai benar.)

Langkah 1 — probit seleksi. Jalankan probit “bekerja” atas pendidikan dan jumlah anak balita, memakai semua 4.000 orang. Hasil koefisien: konstanta −0,199, pendidikan +0,660, anak balita −0,744. Tandanya negatif, sesuai akal ekonomi: makin banyak anak balita, makin kecil peluang ibu bekerja. Dari sini tiap orang dapat indeks $a_i$ lalu IMR $\lambda_i = \phi(a_i)/\Phi(a_i)$.

Untuk memperjelas perhitungan IMR-nya, ambil dua pekerja dengan indeks berbeda dan hitung tangan:

Pekerja berindeks rendah (−0,3) membawa IMR hampir tiga kali lebih besar: dialah yang “terpaksa terpilih” dan paling banyak menyimpan faktor tak teramati istimewa.

Langkah 2 — regresi hasil + IMR. Jalankan OLS upah atas pendidikan dan $\lambda$ pada subsampel pekerja:

• $\hat\beta_1 = 0{,}535$ — kembali dekat ke nilai benar 0,50, jauh lebih baik dari 0,353 yang bias.
• $\hat\theta = 0{,}678$ dengan nilai-$t$ sekitar 9,9 — sangat signifikan, menandakan bias seleksi memang nyata di data ini.

Ringkas tiga angka kunci:

Itulah keseluruhan cerita Heckman: tambahkan satu kolom $\lambda$ yang dihitung dari probit, dan bias yang tadinya 29% menyusut tinggal beberapa persen.

Exclusion Restriction: Syarat yang Sering Diabaikan

Inilah bagian paling kritis dan paling sering disalahgunakan. Idealnya, persamaan seleksi memuat setidaknya satu peubah $Z$ yang memengaruhi keputusan masuk tetapi tidak memengaruhi hasil secara langsung. Perannya mirip instrumen pada metode variabel instrumental.

Contoh yang baik: jumlah anak balita memengaruhi keputusan perempuan bekerja (seleksi), tetapi tidak masuk akal kalau ia langsung menentukan tarif upah per jam seseorang yang sudah bekerja. Peubah seperti inilah exclusion restriction.

Kenapa penting? Tanpa exclusion restriction, satu-satunya yang membedakan persamaan seleksi dari persamaan hasil adalah bentuk lengkung fungsi IMR. Secara teknis model masih “teridentifikasi”, tetapi identifikasinya hanya bersandar pada asumsi normalitas dan kelengkungan — fondasi yang rapuh. Kalau IMR kebetulan hampir lurus pada rentang data Anda, ia jadi nyaris kembar dengan $X$ (kolinear), estimasi berayun liar, dan kesimpulan tak bisa dipercaya. Penelaah jurnal modern hampir selalu menuntut exclusion restriction yang kredibel; “identifikasi dari bentuk fungsi saja” jarang diterima.

Heckit (Dua-Tahap) vs MLE

Ada dua cara mengestimasi model Heckman:

• Dua-tahap (Heckit) seperti di atas: probit dulu, lalu OLS+IMR. Lebih sederhana, lebih tahan terhadap kesalahan spesifikasi, dan transparan. Tetapi nilai galat bakunya perlu koreksi khusus (karena $\lambda$ adalah hasil estimasi, bukan data mentah) — perangkat lunak menanganinya otomatis.
• MLE (maximum likelihood) mengestimasi kedua persamaan serentak. Lebih efisien (galat baku lebih kecil) jika asumsi normalitas bersama benar-benar tepat, tetapi lebih sensitif kalau asumsi itu meleset.

Anjuran praktis: laporkan keduanya. Kalau hasilnya berdekatan, model Anda kokoh; kalau jauh berbeda, ada yang perlu ditinjau ulang.

Cara di Perangkat Lunak

# R — paket sampleSelection
library(sampleSelection)
m <- heckit(
  selection = bekerja ~ pendidikan + anak_balita,   # tahap 1 (probit)
  outcome   = log(upah) ~ pendidikan,               # tahap 2
  data = dat, method = "2step")
summary(m)   # perhatikan baris invMillsRatio = uji theta

* Stata
* dua-tahap:
heckman lnupah pendidikan, select(bekerja = pendidikan anak_balita) twostep
* atau MLE:
heckman lnupah pendidikan, select(bekerja = pendidikan anak_balita)

# Python — statsmodels belum punya Heckman lengkap bawaan.
# Hitung manual: (1) probit seleksi, (2) IMR = pdf/cdf indeks, (3) OLS + IMR.
import statsmodels.api as sm
from scipy.stats import norm
probit = sm.Probit(S, sm.add_constant(Z_dan_X)).fit()
a   = probit.fittedvalues                 # indeks seleksi
imr = norm.pdf(a) / norm.cdf(a)           # inverse Mills ratio
sm.OLS(y[bekerja], sm.add_constant(
       np.column_stack([X[bekerja], imr[bekerja]]))).fit().summary()

Excel Companion

/excel/heckman-selection.xlsx berisi ringkasan konsep, kalkulator inverse Mills ratio (masukkan indeks seleksi → keluar $\phi$, $\Phi$, dan $\lambda$), checklist exclusion restriction, dan cheat-sheet kode R/Stata/Python yang menyertai materi ini.

Cek Pemahaman

1. Seorang peneliti punya data pengeluaran rokok rumah tangga; rumah tangga yang tidak merokok tercatat dengan nilai nol (mereka tetap ada di data). Apakah ini kasus seleksi (Heckman) atau sensoring (Tobit)?

2. Pada tahap kedua Heckman, koefisien IMR keluar $\hat\theta = 0{,}03$ dengan nilai-$t$ sebesar 0,4 (tidak signifikan). Apa kesimpulan praktisnya?

3. (Transfer.) Anda meneliti return pendidikan dengan data orang yang memilih merantau ke kota; pendapatan hanya tercatat untuk yang merantau. Rancang persamaan seleksinya dan usulkan satu exclusion restriction yang kredibel. Kenapa exclusion restriction itu penting di sini?

Kesalahan Umum

Tidak ada exclusion restriction. Heckman tanpa peubah khusus di persamaan seleksi rapuh — identifikasi hanya dari bentuk fungsi. Sediakan $Z$ yang kredibel: kuat menggeser seleksi, tetapi tidak langsung menyentuh hasil.

Memakai peubah yang sama persis di kedua persamaan. Kalau $X$ di persamaan hasil dan $Z$ di seleksi identik, model lemah teridentifikasi dan estimasi tidak stabil. Harus ada setidaknya satu peubah yang hanya muncul di seleksi.

Mengabaikan uji $\theta$ (IMR). Kalau koefisien IMR tidak signifikan, mungkin tidak ada bias seleksi dan OLS biasa sudah cukup. Laporkan apa adanya — koreksi Heckman bukan kewajiban ritual.

Lupa mengoreksi galat baku. Pada Heckit dua-tahap, $\lambda$ adalah hasil estimasi tahap satu, jadi galat baku naif di tahap dua keliru. Pakai galat baku terkoreksi yang disediakan paket (heckit/heckman), jangan salin angka dari OLS biasa.

Mengira dua-tahap selalu lebih baik dari MLE. Dua-tahap lebih tahan kesalahan spesifikasi, tetapi MLE lebih efisien jika asumsi normalitas bersama tepat. Laporkan keduanya kalau ragu.

Salah membedakan dari Tobit. Tobit untuk sensoring (data ada, nilai dibatasi); Heckman untuk seleksi (observasi hilang). Salah pilih model = salah koreksi.

Dipakai di Dunia Nyata

Ekonomi gender dan ketenagakerjaan. Aplikasi klasik Heckman: kesenjangan upah perempuan, di mana partisipasi kerja bersifat selektif. Studi gender wage gap di Indonesia memakai data Sakernas atau IFLS (Indonesian Family Life Survey) dan mengoreksi seleksi partisipasi perempuan sebelum menaksir return pendidikan.

Riset migrasi dan remitansi. Pendapatan migran hanya teramati bagi yang memutuskan merantau — keputusan yang jelas selektif. Koreksi Heckman dipakai agar taksiran manfaat ekonomi migrasi tidak bias oleh siapa yang “memilih” pergi.

Evaluasi program berpartisipasi sukarela. Hasil (mis. peningkatan pendapatan) hanya teramati untuk peserta yang memilih ikut pelatihan/kredit mikro. Seleksi diri ini perlu dikoreksi agar dampak program tidak dilebih-lebihkan — relevan untuk evaluasi kebijakan pemberdayaan di Indonesia.

Keuangan korporasi. Banyak keputusan perusahaan bersifat selektif: perusahaan yang memilih menerbitkan obligasi, melakukan merger, atau membayar dividen bukan sampel acak. Studi yang menaksir dampak keputusan-keputusan ini sering memakai Heckman agar tidak salah membaca efek seleksi sebagai efek kausal.

Lanjutan

• Sebelumnya: Logit, Probit, Tobit — probit yang jadi tahap pertama Heckman, dan Tobit sebagai pembanding.
• Konsep payung: Apa itu Endogeneity — bias seleksi sebagai salah satu sumber endogenitas.
• Tetangga dekat: Propensity Score Matching — pendekatan lain untuk seleksi, tetapi pada peubah teramati.

Fondasi:

• Instrumental Variable — exclusion restriction berperan seperti instrumen.
• Distribusi Normal — sumber $\phi$ dan $\Phi$ pada inverse Mills ratio.

Referensi

• Heckman, J. (1979), “Sample selection bias as a specification error”, Econometrica, 47(1), 153–161.
• Wooldridge, J. M. (2019), Introductory Econometrics: A Modern Approach, 7th ed., Bab 17.
• Greene, W. H. (2018), Econometric Analysis, 8th ed., Bab 19.