Buka grafik return harian IHSG selama lima belas tahun terakhir. Anda akan melihat sesuatu yang aneh kalau diperhatikan baik-baik. Ada periode panjang yang nyaris membosankan — harga naik-turun tipis, hari demi hari, berbulan-bulan. Lalu datang badai: Oktober 2008, Maret 2020. Tiba-tiba harga berayun liar, jatuh 7% sehari, naik 5% besoknya, lalu jatuh lagi. Dan badai itu tidak datang sendirian. Setelah satu hari yang bergejolak, hari berikutnya cenderung bergejolak juga; setelah satu hari tenang, besoknya biasanya tenang.
Pasar punya suasana hati yang menempel. Ketenangan mengundang ketenangan, kekacauan mengundang kekacauan. Yang menarik: ini bukan soal arah harga — apakah naik atau turun esok hari nyaris tak bisa ditebak. Yang bisa ditebak adalah besar guncangannya: seberapa liar ayunannya. Hari ini liar, besok kemungkinan besar masih liar.
Pola inilah yang dimodelkan GARCH. Robert Engle memenangkan Hadiah Nobel Ekonomi 2003 untuk gagasan awalnya (ARCH), dan Tim Bollerslev menyempurnakannya menjadi GARCH yang kita pakai sehari-hari. Model ini menjadi fondasi manajemen risiko keuangan modern.
Intuisi: Varians yang Punya Ingatan
Bayangkan Anda mengukur seberapa liar pasar tiap hari dengan satu angka: varians return hari itu. Model statistik biasa (OLS, ARIMA) memaksa angka itu tetap sepanjang waktu — satu nilai varians untuk semua hari, tenang maupun badai. Itu disebut homoskedastik. Untuk data tinggi badan atau nilai ujian, asumsi itu masuk akal. Untuk return pasar, jelas keliru: variansnya jelas berubah, dan perubahannya bahkan punya pola.
GARCH menukar asumsi itu dengan satu kalimat sederhana: varians hari ini bisa diramal dari kejutan dan varians kemarin. Dengan kata lain, varians punya ingatan. Kalau kemarin pasar terguncang keras, model menaikkan varians hari ini. Kalau sudah lama tenang, model menurunkannya pelan-pelan.
Inilah seluruh materi ini dalam satu gambar:
Perhatikan: batang-batang panjang berkumpul di tengah, bukan tersebar merata. Itu clustering. Sebuah model yang memaksa satu varians untuk semua hari akan menggambar pita selebar rata-rata — terlalu lebar di periode tenang, terlalu sempit di periode gejolak. Di periode gejolaklah pita yang terlalu sempit itu paling berbahaya: persis saat risiko tinggi, model lama meremehkannya.
Beda dengan Heteroskedastisitas Biasa
Di heteroskedastisitas klasik, varians error bergantung pada variabel penjelas $X$ — misalnya error makin lebar saat pendapatan makin tinggi. Di GARCH, tidak ada $X$ sama sekali: varians bergantung pada waktu dan masa lalu deret itu sendiri. Hari ini liar karena kemarin liar, bukan karena suatu variabel besar. Karena itu GARCH disebut conditional heteroskedasticity — heteroskedastisitas bersyarat pada riwayat sendiri.
ARCH: Akar Idenya
Mulai dari versi paling sederhana. Misalkan return harian sudah dibersihkan dari rata-ratanya, sehingga yang tersisa hanya kejutan $\varepsilon_t$ — bagian return yang tak terduga pada hari $t$. (Sama seperti residual $e = y - \hat{y}$ di regresi: bagian yang tak dijelaskan model. Di sini $\hat{y}$ biasanya hanya rata-rata return yang kecil, sehingga $\varepsilon_t \approx$ return itu sendiri.)
Engle bertanya: bagaimana cara menebak varians hari ini? Jawabannya — lihat seberapa besar kejutan kemarin. ARCH(1) menulis varians bersyarat $\sigma_t^2$ sebagai:
$$ \sigma_t^2 = \omega + \alpha\, \varepsilon_{t-1}^2 $$Penjelasan tiap lambang:
- $\sigma_t^2$ (dibaca “sigma-kuadrat-t”) = varians bersyarat hari ini, yaitu seberapa liar pasar diperkirakan hari $t$, mengingat apa yang baru saja terjadi. Akarnya, $\sigma_t$, adalah volatilitas harian — misalnya $\sigma_t = 0{,}014$ berarti volatilitas 1,4% per hari.
- $\omega$ (dibaca “omega”) = varians dasar, angka positif kecil; lantai yang selalu ada bahkan tanpa kejutan apa pun.
- $\varepsilon_{t-1}^2$ = kuadrat kejutan kemarin. Dikuadratkan agar tandanya hilang — yang penting besar guncangan, bukan arahnya (jatuh −4% sama mengganggunya dengan melonjak +4%).
- $\alpha$ (dibaca “alfa”) = seberapa kuat kejutan kemarin menular ke varians hari ini; reaksi terhadap berita baru.
Logikanya langsung: kalau kemarin ada guncangan besar ($\varepsilon_{t-1}^2$ besar), suku $\alpha\,\varepsilon_{t-1}^2$ membengkak, dan $\sigma_t^2$ ikut naik. Itulah cara ARCH menangkap clustering. Masalahnya, ARCH(1) cepat lupa — pengaruh sebuah guncangan hilang dalam satu hari. Agar pas dengan data nyata, sering perlu ARCH(q) dengan banyak lag:
$$ \sigma_t^2 = \omega + \alpha_1 \varepsilon_{t-1}^2 + \alpha_2 \varepsilon_{t-2}^2 + \dots + \alpha_q \varepsilon_{t-q}^2 $$Versi $q$ lag ini boros: butuh banyak parameter $\alpha_1, \dots, \alpha_q$ untuk menangkap ingatan yang panjang. Di sinilah GARCH masuk dengan trik yang elegan.
GARCH: Menambahkan Ingatan pada Varians
Bollerslev menyadari ada cara jauh lebih hemat. Daripada menumpuk banyak lag kejutan, cukup tambahkan satu suku: varians kemarin. Karena varians kemarin sendiri sudah merangkum kejutan-kejutan sebelumnya, satu suku ini menggantikan seluruh ekor ARCH yang panjang. GARCH(1,1) menulis:
$$ \sigma_t^2 = \omega + \alpha\, \varepsilon_{t-1}^2 + \beta\, \sigma_{t-1}^2 $$Lambang baru:
- $\sigma_{t-1}^2$ = varians bersyarat kemarin — angka yang sudah dihitung pada hari sebelumnya.
- $\beta$ (dibaca “beta”) = persistensi; seberapa banyak varians hari ini mewarisi varians kemarin. Inilah ingatan jangka panjang.
Tiga suku, tiga peran berbeda:
| Parameter | Peran | Intuisi |
|---|---|---|
| $\omega$ | Varians dasar (lantai) | Tingkat gejolak minimum jangka panjang |
| $\alpha$ | Reaksi terhadap berita baru | Seberapa cepat pasar bereaksi pada kejutan |
| $\beta$ | Persistensi (ingatan) | Seberapa lama gejolak bertahan |
Angka di belakang nama, GARCH(1,1), berarti satu lag kejutan ($\varepsilon_{t-1}^2$) dan satu lag varians ($\sigma_{t-1}^2$). Bentuk umumnya GARCH(p, q): $p$ lag varians dan $q$ lag kejutan. Dalam praktik, GARCH(1,1) sudah cukup untuk sebagian besar deret keuangan — itulah kenapa ia begitu populer.
Syarat stasioneritas: kenapa α + β < 1
Agar model masuk akal, jumlah $\alpha + \beta$ harus lebih kecil dari 1. Inilah syarat stasioneritas GARCH, dan maknanya dalam:
$$ \sigma^2_{\text{jangka panjang}} = \frac{\omega}{1 - (\alpha + \beta)} $$Rumus ini memberi varians rata-rata jangka panjang — tingkat gejolak normal yang dituju pasar setelah badai mereda. Selama $\alpha + \beta < 1$, penyebut $1 - (\alpha+\beta)$ positif, sehingga ada nilai jangka panjang yang terhingga: setelah guncangan, volatilitas perlahan kembali (mean reverting) ke tingkat normal ini.
- Kalau $\alpha + \beta$ mendekati 1 (di banyak deret keuangan $\approx 0{,}95$–$0{,}99$), volatilitas sangat persisten: guncangan butuh waktu lama untuk mereda. Pada persistensi $0{,}95$, separuh efek sebuah guncangan baru hilang setelah sekitar 14 hari; pada $0{,}99$, butuh hampir 70 hari.
- Kalau $\alpha + \beta \geq 1$, penyebutnya nol atau negatif — rumus jangka panjang rusak. Ini disebut IGARCH: varians tidak pernah kembali, guncangan permanen. Hampir selalu tanda model salah spesifikasi atau data perlu diperiksa ulang.
Contoh Hitung dari Nol
Tidak ada yang menggantikan menghitung satu langkah dengan tangan. Ambil model GARCH(1,1) dengan parameter (sudah ditaksir dari data, kita pakai sebagai diketahui):
$$ \omega = 0{,}000002, \quad \alpha = 0{,}10, \quad \beta = 0{,}85 $$Langkah 0 — tingkat normal. Hitung dulu varians jangka panjang sebagai pembanding:
$$ \sigma^2_{\text{jp}} = \frac{0{,}000002}{1 - (0{,}10 + 0{,}85)} = \frac{0{,}000002}{0{,}05} = 0{,}00004 $$Akarnya $\sigma_{\text{jp}} = \sqrt{0{,}00004} \approx 0{,}006325$, yaitu volatilitas normal 0,6325% per hari. (Disetahunkan: $0{,}6325\% \times \sqrt{252} \approx 10{,}0\%$ per tahun — angka yang wajar untuk indeks saham.)
Langkah 1 — datang guncangan. Misalkan pasar baru saja jatuh 4% kemarin, jadi kejutan kemarin $\varepsilon_{t-1} = -0{,}04$, dan kemarin pasar masih di tingkat normal $\sigma_{t-1}^2 = 0{,}00004$. Masukkan ke rumus:
$$ \sigma_t^2 = 0{,}000002 + 0{,}10 \times (-0{,}04)^2 + 0{,}85 \times 0{,}00004 $$Hitung suku demi suku:
| Suku | Nilai |
|---|---|
| $\omega$ | $0{,}000002$ |
| $\alpha\,\varepsilon_{t-1}^2 = 0{,}10 \times 0{,}0016$ | $0{,}000160$ |
| $\beta\,\sigma_{t-1}^2 = 0{,}85 \times 0{,}00004$ | $0{,}000034$ |
| Jumlah $\sigma_t^2$ | $\mathbf{0{,}000196}$ |
Akarnya:
$$ \sigma_t = \sqrt{0{,}000196} = 0{,}014 = 1{,}4\% \text{ per hari} $$Volatilitas yang diramal hari ini melonjak dari 0,63% menjadi 1,4% — lebih dari dua kali lipat — hanya karena satu guncangan kemarin. Itulah clustering yang bekerja: model otomatis menaikkan kewaspadaan setelah hari buruk. Suku $\alpha\,\varepsilon_{t-1}^2$ (= 0,000160) yang mendominasi lonjakan ini; suku $\beta$ menahan ingatan tingkat sebelumnya.
Langkah 2 — pasar mulai tenang. Misalkan hari ini ternyata cuma berayun +1,2%, jadi $\varepsilon_t = 0{,}012$, sementara $\sigma_t^2 = 0{,}000196$. Varians besok:
$$ \sigma_{t+1}^2 = 0{,}000002 + 0{,}10 \times (0{,}012)^2 + 0{,}85 \times 0{,}000196 = 0{,}000183 $$yang berarti $\sigma_{t+1} \approx 1{,}35\%$. Volatilitas mulai turun, tetapi pelan — itulah persistensi $\beta = 0{,}85$ yang menahan ingatan badai. Tanpa guncangan baru, $\sigma_t$ akan merayap kembali ke 0,63% selama berminggu-minggu, bukan langsung.
Ramalan: Volatilitas Selalu Pulang ke Rumah
Karena $\alpha + \beta < 1$, ramalan varians $h$ hari ke depan menyusut ke arah tingkat jangka panjang. Mulai dari situasi gejolak ($\sigma_t = 1{,}4\%$ di atas), ramalannya:
| Horizon $h$ | $\sigma$ diramal | Sisa jarak ke tingkat normal |
|---|---|---|
| 1 hari | 1,37% | 95,0% |
| 5 hari | 1,27% | 77,4% |
| 20 hari | 0,98% | 35,8% |
| 50 hari | 0,72% | 7,7% |
| 100 hari | 0,64% | 0,6% |
Setelah badai, volatilitas tidak melompat seketika ke tingkat normal — ia pulang pelan-pelan, dan kecepatannya ditentukan oleh persistensi $\alpha + \beta$. Inilah yang membuat GARCH berguna untuk peramalan risiko: ia tahu badai akan reda, tetapi tidak hari ini.
Bereksperimen Sendiri
Geser $\alpha$ dan $\beta$, lalu amati bagaimana deret volatilitas berubah bentuk. Naikkan $\alpha$ untuk reaksi tajam pada kejutan; naikkan $\beta$ agar gejolak bertahan lama (clustering makin jelas); perhatikan pita volatilitas melebar dan menyempit, bukan datar seperti model biasa.
Aplikasi: Value at Risk
Untuk apa volatilitas harian yang berubah-ubah ini? Salah satu pemakaian paling langsung adalah Value at Risk (VaR) — perkiraan kerugian maksimum sebuah portofolio pada tingkat keyakinan tertentu (misal 99%) dalam satu hari. VaR satu hari menulis:
$$ \text{VaR}_t = -\mu + z_\alpha \cdot \sigma_t $$Penjelasan lambang:
- $\mu$ (dibaca “mu”) = rata-rata return harian; untuk horizon satu hari biasanya nyaris nol, jadi sering diabaikan.
- $z_\alpha$ = nilai-z dari distribusi normal pada tingkat keyakinan yang dipilih. Untuk 99% keyakinan, $z = 2{,}326$; untuk 95%, $z = 1{,}645$.
- $\sigma_t$ = volatilitas hari ini dari GARCH — di sinilah model masuk. Karena $\sigma_t$ bergerak, VaR ikut menyesuaikan otomatis.
Contoh. Portofolio senilai Rp 1 miliar. Saat pasar tenang, GARCH memberi $\sigma_t = 0{,}6325\%$:
$$ \text{VaR}_{99\%} = 2{,}326 \times 0{,}006325 = 0{,}01471 = 1{,}47\% $$yaitu sekitar Rp 14,7 juta — kerugian yang, dengan keyakinan 99%, tidak akan terlampaui besok. Tetapi saat badai, GARCH menaikkan $\sigma_t$ ke 1,4%:
$$ \text{VaR}_{99\%} = 2{,}326 \times 0{,}014 = 0{,}03257 = 3{,}26\% $$yaitu sekitar Rp 32,6 juta — lebih dari dua kali lipat. Model varians-tetap akan memberi angka VaR yang sama setiap hari, sehingga meremehkan risiko persis saat badai dan melebih-lebihkannya saat tenang. GARCH membuat VaR bernapas mengikuti pasar. Inilah inti perhitungan modal risiko pasar di bank dan dana kelolaan.
Varian GARCH: Kapan Butuh yang Lebih dari Baseline
GARCH(1,1) bersifat simetris: ia memperlakukan kejutan +4% dan −4% sama persis, karena keduanya dikuadratkan. Tetapi di pasar saham ada leverage effect (efek pengungkit): berita buruk (return negatif) cenderung menaikkan volatilitas lebih besar daripada berita baik berukuran sama. Saham yang jatuh menakutkan investor lebih dari saham yang naik menyenangkan mereka. GARCH simetris melewatkan ini.
| Model | Tambahan dibanding GARCH | Untuk apa |
|---|---|---|
| GARCH | — (simetris) | Tolok ukur baku |
| EGARCH | Memodelkan log-varians, menyertakan tanda kejutan | Menangkap leverage effect |
| GJR-GARCH | Suku tambahan yang hidup hanya saat kejutan negatif | Berita buruk lebih kuat dari berita baik |
| GARCH-M | Volatilitas masuk ke persamaan rata-rata | Risiko ikut menjelaskan return (risk premium) |
Aturan praktis: untuk indeks atau saham, coba EGARCH atau GJR-GARCH lebih dulu karena leverage effect hampir selalu ada; untuk nilai tukar, GARCH simetris sering sudah memadai.
Cara di Software
# R — paket rugarch
library(rugarch)
spec <- ugarchspec(variance.model = list(model = "sGARCH", garchOrder = c(1,1)),
mean.model = list(armaOrder = c(0,0)))
fit <- ugarchfit(spec, data = returns)
spec2 <- ugarchspec(variance.model = list(model = "eGARCH", garchOrder = c(1,1))) # EGARCH
* Stata
arch return, arch(1) garch(1) // GARCH(1,1)
arch return, earch(1) egarch(1) // EGARCH
# Python — paket arch
from arch import arch_model
m = arch_model(returns, mean='Constant', vol='GARCH', p=1, q=1).fit()
print(m.params) # omega, alpha[1], beta[1]
m.forecast(horizon=5).variance # ramalan varians 5 hari
Pada deret keuangan nyata, taksiran khas berada di kisaran $\alpha \approx 0{,}05$–$0{,}10$ (reaksi berita sedang) dan $\beta \approx 0{,}85$–$0{,}92$ (ingatan kuat), sehingga $\alpha + \beta$ mendekati 1 — persis tanda volatilitas yang persisten.
Excel Companion
/excel/garch-volatility.xlsx berisi ringkasan konsep, kalkulator varians bersyarat GARCH(1,1) langkah demi langkah (formula hidup dari $\omega$, $\alpha$, $\beta$, dan deret kejutan), serta cheat-sheet kode R/Stata/Python yang menyertai materi ini.
Cek Pemahaman
1. Sebuah GARCH(1,1) ditaksir dengan $\omega = 0{,}00001$, $\alpha = 0{,}08$, $\beta = 0{,}90$. Kemarin terjadi kejutan $\varepsilon_{t-1} = 0{,}03$ dengan varians kemarin $\sigma_{t-1}^2 = 0{,}0004$. Hitung $\sigma_t$ (volatilitas hari ini) dari nol.
Lihat jawaban
$\sigma_t^2 = 0{,}00001 + 0{,}08 \times (0{,}03)^2 + 0{,}90 \times 0{,}0004$ $= 0{,}00001 + 0{,}08 \times 0{,}0009 + 0{,}00036$ $= 0{,}00001 + 0{,}000072 + 0{,}00036 = 0{,}000442$.
Maka $\sigma_t = \sqrt{0{,}000442} \approx 0{,}02102 = 2{,}10\%$ per hari. Periksa stasioneritas: $\alpha + \beta = 0{,}98 < 1$ — sah, varians akan kembali ke tingkat jangka panjang.
2. (Transfer) Seorang manajer risiko memodelkan return rupiah/USD harian dengan GARCH dan menaksir $\alpha = 0{,}06$, $\beta = 0{,}93$. Rekannya bilang, “Persistensinya tinggi sekali, model ini pasti salah.” Apakah benar? Dan apa konsekuensi praktisnya untuk perhitungan VaR?
Lihat jawaban
Belum tentu salah. $\alpha + \beta = 0{,}99 < 1$, jadi model masih stasioner dan sah — varians tetap punya tingkat jangka panjang yang terhingga. Persistensi 0,99 memang sangat tinggi, tetapi itu normal untuk deret keuangan harian, terutama nilai tukar. (Baru jika $\alpha + \beta \geq 1$ — IGARCH — model bermasalah.) Konsekuensi praktis: dengan persistensi setinggi ini, sebuah guncangan volatilitas bertahan sangat lama (separuh efeknya baru hilang setelah ~69 hari). Untuk VaR berarti: setelah krisis, $\sigma_t$ akan tetap tinggi berminggu-minggu, sehingga VaR yang ketat (modal risiko besar) harus dipertahankan lama — bukan dilonggarkan sehari setelah pasar tampak tenang.
Kesalahan Umum
Memakai GARCH pada harga, bukan return. GARCH mengandaikan deret stasioner. Harga level tak stasioner (merambat terus, ada unit root); returnlah yang stasioner. Hitung return dulu ($r_t = \ln P_t - \ln P_{t-1}$), baru pasang GARCH. Memasang GARCH pada harga adalah salah satu kesalahan paling sering dan paling fatal.
Lupa memeriksa $\alpha + \beta < 1$. Kalau jumlahnya $\geq 1$, model adalah IGARCH: varians tak pernah kembali ke tingkat normal, dan rumus jangka panjang $\omega / (1 - \alpha - \beta)$ rusak. Selalu periksa angka ini setelah estimasi.
Mengira GARCH meramal arah harga. GARCH meramal volatilitas (besar fluktuasi), bukan arah return (naik atau turun). Kalau Anda ingin tahu ke mana harga bergerak, GARCH bukan alatnya; kalau Anda ingin tahu seberapa liar geraknya, inilah alatnya.
Memaksa distribusi normal padahal ekor tebal. Return keuangan sering punya kurtosis tinggi (lebih banyak kejadian ekstrem daripada yang diprediksi kurva normal). Memakai distribusi normal untuk error GARCH akan meremehkan probabilitas krisis. Pakai distribusi Student-t atau skewed-t untuk error.
Mengabaikan leverage effect. Untuk saham dan indeks, GARCH simetris sering kurang pas karena berita buruk berdampak lebih besar daripada berita baik. EGARCH atau GJR-GARCH menangkap asimetri ini — coba dulu sebelum puas dengan GARCH biasa.
Dipakai di Dunia Nyata
- Manajemen risiko bank dan dana (Indonesia). VaR dan expected shortfall berbasis GARCH adalah standar pengaturan permodalan risiko pasar (kerangka Basel). Bank-bank di Indonesia, di bawah pengawasan OJK, memakai estimasi volatilitas dinamis untuk menghitung modal risiko pasar — yang harus mengencang otomatis saat pasar bergejolak.
- Penetapan harga opsi. Volatilitas adalah input utama harga opsi. Black-Scholes mengasumsikan volatilitas konstan; GARCH memberi estimasi yang berubah waktu, lebih realistis untuk pricing dan lindung nilai (hedging).
- Analisis pasar IHSG, rupiah, dan komoditas. Mengukur dan meramal volatilitas indeks saham, nilai tukar, atau komoditas (CPO, batu bara) untuk keputusan lindung nilai, ukuran posisi, dan alokasi aset — relevan bagi dana pensiun dan manajer investasi domestik.
Lanjutan
GARCH adalah pertemuan dua dunia yang sudah Anda kenal: ingatan deret waktu (ARIMA) dan varians yang tak konstan (heteroskedastisitas).
- Perlu menyegarkan ingatan deret terhadap masa lalunya? Balik ke ARIMA Modeling.
- Untuk sistem banyak deret yang saling memengaruhi (bukan satu deret), lanjut ke VAR (Vector Autoregression).
- Aplikasi langsung di keuangan: Sensitivity & Scenario Analysis.
Fondasi yang menopang:
- Stationarity & Unit Root — kenapa GARCH butuh return, bukan harga.
- Heteroskedastisitas — gagasan varians yang berubah, yang di sini dibuat bersyarat pada waktu.
Reference
- Engle, R. F. (1982). “Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation.” Econometrica, 50(4), 987–1007.
- Bollerslev, T. (1986). “Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity.” Journal of Econometrics, 31(3), 307–327.
- Nelson, D. B. (1991). “Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns: A New Approach.” Econometrica, 59(2), 347–370. (EGARCH)
- Glosten, L. R., Jagannathan, R., & Runkle, D. E. (1993). “On the Relation between the Expected Value and the Volatility of the Nominal Excess Return on Stocks.” Journal of Finance, 48(5), 1779–1801. (GJR-GARCH)