Dua kapal melaju di laut lepas, masing-masing terombang-ambing ombak tanpa arah pasti. Kalau Anda catat posisi salah satunya dari menit ke menit, garisnya mengembara ke mana-mana, tak pernah kembali ke titik semula. Tetapi kedua kapal itu diikat satu tali. Sepanjang tali masih kencang, jarak keduanya tidak pernah jauh — saat satu kapal menjauh, tali menariknya kembali. Posisi tiap kapal liar dan tak terprediksi; jarak antara keduanya justru tenang dan stabil.
Inilah gambaran inti materi ini. Banyak data ekonomi berperilaku seperti kapal yang mengembara: harga saham, nilai tukar, tingkat konsumsi, pendapatan nasional. Masing-masing tidak punya “rumah” untuk dituju, bergerak naik-turun tanpa kembali ke rata-rata tetap. Meregresikan dua deret semacam itu biasanya berbahaya — hasilnya bisa terlihat sangat meyakinkan padahal sepenuhnya palsu. Tetapi kalau di antara keduanya ada “tali” — sebuah hubungan keseimbangan jangka panjang yang menariknya kembali saat menyimpang — maka regresinya justru sah dan bermakna. Hubungan tali itulah yang disebut kointegrasi.
Intuisi: Pemabuk dan Anjingnya
Analogi yang lebih sering dikutip daripada kapal-dan-tali datang dari Murray (1994): seorang pemabuk pulang dari bar dengan langkah acak ke kiri dan ke kanan tanpa pola, dan anjingnya juga berkeliaran ke sana-kemari sesukanya. Kalau Anda lacak posisi pemabuk saja, ia jalan acak (random walk) — non-stasioner, tak terprediksi. Posisi anjing juga jalan acak.
Tetapi keduanya terikat: anjing sayang pada majikannya, pemabuk sesekali memanggil. Anjing tidak akan terlalu jauh dari pemabuk. Maka jarak antara mereka tidak mengembara — ia berosilasi rapat di sekitar nol, selalu tertarik kembali setiap kali melebar. Posisi masing-masing non-stasioner, tetapi selisih posisinya stasioner. Itulah kointegrasi: dua deret non-stasioner yang kombinasi linearnya stasioner.
Inilah inti seluruh materi, dalam satu gambar — bedanya deret yang mengembara bebas (kanan) dengan deret yang selalu ditarik kembali ke rata-rata (kiri):
Latar: Kenapa Regresi Deret Non-Stasioner Berbahaya
Sebelum bicara kapan regresi antar deret non-stasioner sah, kita perlu paham kenapa biasanya tidak sah. Ambil dua deret yang sama sekali tidak berhubungan, masing-masing jalan acak — misalnya jumlah hujan di Semarang dan harga sebuah saham di New York. Regresikan satu pada yang lain, dan Anda kerap mendapat slope yang “signifikan” dengan $R^2$ tinggi, padahal tak ada hubungan apa pun. Ini disebut regresi palsu (spurious regression).
Bukan sekadar kemungkinan langka. Saya jalankan simulasi: 2.000 kali ambil dua deret jalan acak yang benar-benar independen (masing-masing 100 titik), regresikan satu pada yang lain, lalu cek apakah slope-nya “signifikan” pada taraf 5%. Kalau regresinya jujur, seharusnya hanya sekitar 5% kasus yang lolos secara kebetulan. Hasilnya:
Slope dinyatakan “signifikan” ($|t| > 1{,}96$) pada 76,3% kasus — bukan 5%.
Lebih dari tiga perempat regresi antar deret tak-berhubungan terlihat meyakinkan secara statistik. Sebabnya: pada deret non-stasioner, uji-$t$ baku tidak lagi sahih — distribusinya melenceng jauh. Inilah jebakan yang ditemukan Granger & Newbold (1974). Pesannya tegas: jangan pernah meregresikan deret non-stasioner di level begitu saja.
Kointegrasi adalah pengecualian — satu-satunya keadaan saat regresi level antar deret non-stasioner justru sah. Granger memenangkan Hadiah Nobel Ekonomi 2003 untuk konsep ini.
Definisi Formal
Misalkan dua deret $Y_t$ dan $X_t$ masing-masing I(1) — artinya non-stasioner di level (mengembara seperti jalan acak), tetapi menjadi stasioner setelah di-difference satu kali (selisih antar-periodenya, $\Delta Y_t = Y_t - Y_{t-1}$, sudah tenang). Notasi “I(1)” dibaca “integrated of order one”, terintegrasi orde satu.
Kedua deret dikatakan kointegrasi kalau ada kombinasi linear keduanya yang stasioner:
$$u_t = Y_t - \beta X_t \sim I(0)$$Mari urai tiap lambang dengan polos:
- $Y_t$ dan $X_t$ = nilai dua deret pada waktu $t$ (misalnya $t = 1, 2, 3, \dots$ untuk bulan ke-1, ke-2, dst.). Keduanya I(1) — mengembara.
- $\beta$ (dibaca “beta”) = koefisien keseimbangan jangka panjang. Ia menyatakan berapa unit $Y$ “seharusnya” bergerak setiap $X$ naik satu unit dalam jangka panjang. Kalau $\beta = 2$, keseimbangannya adalah $Y \approx 2X$.
- $u_t = Y_t - \beta X_t$ = deviasi dari keseimbangan pada waktu $t$. Ini “panjang tali” pada saat itu — seberapa jauh kedua deret menyimpang dari hubungan idealnya. Bacalah polos: $u_t$ = nilai $Y$ sekarang dikurangi nilai $Y$ yang diharapkan dari $X$.
- $\sim I(0)$ = “berdistribusi stasioner, terintegrasi orde nol”. Artinya $u_t$ tidak mengembara: ia berosilasi di sekitar nilai tetap dan selalu tertarik kembali (mean-reverting). Inilah tali yang kencang.
Kunci seluruh konsep: $Y_t$ liar, $X_t$ liar, tetapi $u_t = Y_t - \beta X_t$ tenang. Kalau $u_t$ ikut mengembara (non-stasioner), berarti tak ada tali — tak ada kointegrasi — dan regresinya palsu.
Contoh Hitung dari Nol: Uji Engle-Granger
Cara paling lugas menguji kointegrasi adalah prosedur dua langkah Engle & Granger (1987). Idenya persis menerjemahkan definisi di atas:
- Taksir hubungan jangka panjang dengan regresi $Y_t$ pada $X_t$ (kuadrat terkecil biasa), lalu simpan residualnya $\hat{u}_t$. Residual ini adalah taksiran “panjang tali” $u_t$.
- Uji apakah residual stasioner. Kalau $\hat{u}_t$ stasioner (mean-reverting) → ada tali → kointegrasi. Kalau $\hat{u}_t$ ikut mengembara → tak ada tali → bukan kointegrasi (regresi palsu).
Mari kerjakan pada data kecil agar tiap angka bisa ditelusuri tangan. Anggap $X_t$ = indeks harga sebuah komoditas dan $Y_t$ = indeks harga produk olahannya, diamati selama enam periode. Kedua deret menanjak (non-stasioner di level).
Langkah 1a — data mentah dan rata-rata.
| $t$ | $X_t$ | $Y_t$ |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 10 |
| 2 | 4 | 11 |
| 3 | 6 | 18 |
| 4 | 8 | 22 |
| 5 | 10 | 23 |
| 6 | 12 | 30 |
| Σ | 42 | 114 |
Rata-rata: $\bar{x} = 42 / 6 = 7$ dan $\bar{y} = 114 / 6 = 19$.
Langkah 1b — regresi $Y$ pada $X$ (kuadrat terkecil). Slope dan intercept dihitung dengan rumus baku regresi sederhana (lihat regresi linear sederhana kalau perlu menyegarkan):
$$\hat{\beta} = \frac{\sum (x_t - \bar{x})(y_t - \bar{y})}{\sum (x_t - \bar{x})^2}, \qquad \hat{\beta}_0 = \bar{y} - \hat{\beta}\,\bar{x}$$Dengan kolom bantu:
| $t$ | $x_t - \bar{x}$ | $y_t - \bar{y}$ | hasil kali | $(x_t-\bar{x})^2$ |
|---|---|---|---|---|
| 1 | −5 | −9 | 45 | 25 |
| 2 | −3 | −8 | 24 | 9 |
| 3 | −1 | −1 | 1 | 1 |
| 4 | 1 | 3 | 3 | 1 |
| 5 | 3 | 4 | 12 | 9 |
| 6 | 5 | 11 | 55 | 25 |
| Σ | 0 | 0 | 140 | 70 |
Hubungan jangka panjang taksiran: $\hat{Y}_t = 5 + 2X_t$. Artinya, dalam keseimbangan, tiap kenaikan satu unit indeks komoditas dikaitkan dengan kenaikan dua unit indeks produk olahan.
Langkah 1c — simpan residual $\hat{u}_t = Y_t - \hat{Y}_t$. Inilah “panjang tali” pada tiap periode. Bacalah polos: residual = nilai aktual − nilai prediksi keseimbangan.
| $t$ | $Y_t$ | $\hat{Y}_t = 5 + 2X_t$ | $\hat{u}_t = Y_t - \hat{Y}_t$ |
|---|---|---|---|
| 1 | 10 | 9 | +1 |
| 2 | 11 | 13 | −2 |
| 3 | 18 | 17 | +1 |
| 4 | 22 | 21 | +1 |
| 5 | 23 | 25 | −2 |
| 6 | 30 | 29 | +1 |
| Σ | 0 |
Langkah 2 — uji stasioneritas residual. Perhatikan pola $\hat{u}_t$: $+1, -2, +1, +1, -2, +1$. Tandanya bolak-balik, jumlahnya tepat nol, dan tak satu pun menjauh berkepanjangan — ia mean-reverting. Secara formal kita jalankan uji ADF (Augmented Dickey-Fuller) pada residual ini; karena residualnya jelas berosilasi rapat di sekitar nol, uji ADF menolak hipotesis “ada unit root” dengan kuat (deret kecil ini hanya untuk ilustrasi mekanisme — pada data riil dipakai puluhan hingga ratusan observasi).
Catatan penting: ADF pada residual memakai nilai kritis khusus (tabel MacKinnon), bukan tabel ADF biasa. Sebabnya, residual itu sendiri hasil estimasi — $\hat{\beta}$ ditaksir dari data — sehingga distribusi statistiknya bergeser. Memakai nilai kritis ADF standar membuat Anda terlalu mudah menyimpulkan “ada kointegrasi”. Perangkat lunak menangani ini otomatis lewat fungsi kointegrasi khusus.
Kesimpulan. Residual stasioner → $X_t$ dan $Y_t$ kointegrasi. Regresi $\hat{Y}_t = 5 + 2X_t$ sah dimaknai sebagai hubungan keseimbangan jangka panjang, bukan palsu.
Dua Uji Kointegrasi
Engle-Granger sederhana dan transparan, tetapi punya keterbatasan: ia hanya menguji satu hubungan dan sensitif terhadap variabel mana yang dijadikan dependen (regresi $Y$ pada $X$ bisa beda kesimpulan dari $X$ pada $Y$ pada sampel kecil). Untuk sistem dengan banyak variabel, dipakai prosedur Johansen.
| Uji | Cocok untuk | Cara kerja singkat |
|---|---|---|
| Engle-Granger | Satu hubungan, dua variabel | Regresi → uji stasioneritas residual (ADF nilai kritis khusus) |
| Johansen | Banyak variabel, beberapa hubungan kointegrasi sekaligus | Berbasis VAR; uji trace dan maximum eigenvalue menghitung berapa banyak hubungan kointegrasi (peringkat kointegrasi $r$) |
Uji Johansen berangkat dari sebuah VAR dan memeriksa peringkat (rank) sebuah matriks: peringkat $r = 0$ berarti tak ada kointegrasi; $r = 1$ berarti ada satu hubungan keseimbangan; dan seterusnya. Ia jadi standar untuk sistem multivariat karena memperlakukan semua variabel setara (tak perlu memilih mana yang dependen) dan bisa menemukan lebih dari satu tali sekaligus.
VECM: Menangkap Penyesuaian ke Keseimbangan
Kalau dua deret kointegrasi, kita tahu ada “tali” yang menariknya kembali. Vector Error Correction Model (VECM) adalah model yang menuliskan tarikan itu secara eksplisit. Ia memodelkan perubahan tiap deret ($\Delta Y_t = Y_t - Y_{t-1}$) sebagai gabungan dinamika jangka pendek dan koreksi menuju keseimbangan:
$$\Delta Y_t = \alpha \underbrace{(Y_{t-1} - \beta X_{t-1})}_{\text{error-correction term}} + \sum_{i} \gamma_i\, \Delta Y_{t-i} + \varepsilon_t$$Urai tiap bagian:
- $\Delta Y_t = Y_t - Y_{t-1}$ = perubahan $Y$ dari periode lalu ke sekarang. Misalnya kalau $Y$ naik dari 22 ke 30, maka $\Delta Y_t = 30 - 22 = 8$.
- $(Y_{t-1} - \beta X_{t-1})$ = error-correction term (ECT), yaitu deviasi dari keseimbangan periode sebelumnya — persis $u_{t-1}$ yang kita hitung di tabel residual tadi. Ini “seberapa kencang tali ditarik” pada awal periode.
- $\alpha$ (dibaca “alfa”) = kecepatan penyesuaian (speed of adjustment). Inilah lambang terpenting dalam VECM. Ia menyatakan berapa bagian deviasi yang dikoreksi tiap periode.
- $\sum_i \gamma_i\,\Delta Y_{t-i}$ = suku jangka pendek: pengaruh perubahan masa lalu (momentum). $\gamma_i$ adalah koefisiennya.
- $\varepsilon_t$ (dibaca “epsilon”) = guncangan acak periode ini (kejutan yang tak terjelaskan).
Menafsirkan α: kenapa harus negatif
$\alpha$ harus bernilai negatif agar mekanisme koreksi masuk akal. Lihat logikanya: misalkan periode lalu $Y$ terlalu tinggi dibanding keseimbangan, sehingga ECT $= (Y_{t-1} - \beta X_{t-1}) > 0$ (deviasi positif). Supaya kembali ke keseimbangan, $Y$ sekarang harus turun, yakni $\Delta Y_t < 0$. Itu hanya terjadi kalau $\alpha < 0$ (negatif dikali positif = negatif). Jadi:
- $\alpha$ negatif dan signifikan → deret menarik diri kembali ke keseimbangan setelah menyimpang. Ini yang diharapkan.
- $\alpha$ positif → deret justru makin menjauh dari keseimbangan tiap periode. Mekanisme meledak; biasanya pertanda model salah spesifikasi.
- $|\alpha|$ besar (mendekati 1) → koreksi cepat. $|\alpha|$ kecil (mendekati 0) → koreksi lambat. $\alpha = 0$ → tak ada koreksi sama sekali (tali putus — kointegrasi hilang).
Contoh angka
Misalkan hasil estimasi memberi $\alpha = -0{,}3$. Maknanya: 30% deviasi dari keseimbangan dikoreksi tiap periode. Mari telusuri sebuah deviasi awal sebesar 6 unit yang dibiarkan dikoreksi tanpa guncangan baru — tiap periode tersisa $70\%$ deviasi sebelumnya ($1 + \alpha = 1 - 0{,}3 = 0{,}7$):
| Periode | Deviasi awal | Dikoreksi (30%) | Deviasi tersisa |
|---|---|---|---|
| 0 | 6,000 | 1,800 | 4,200 |
| 1 | 4,200 | 1,260 | 2,940 |
| 2 | 2,940 | 0,882 | 2,058 |
| 3 | 2,058 | 0,617 | 1,441 |
Deviasi menyusut geometris menuju nol — tali menarik kapal kembali. Kita bisa ringkas kecepatan ini sebagai paruh-waktu (half-life): berapa periode sampai deviasi tinggal separuh. Rumusnya $\ln(0{,}5) / \ln(1 + \alpha)$:
$$\text{paruh-waktu} = \frac{\ln(0{,}5)}{\ln(1 - 0{,}3)} = \frac{\ln 0{,}5}{\ln 0{,}7} \approx 1{,}94 \text{ periode}$$Jadi pada $\alpha = -0{,}3$, separuh penyimpangan terhapus dalam kurang dari dua periode. Untuk perbandingan: $\alpha = -0{,}1$ memberi paruh-waktu 6,6 periode (penyesuaian lambat), sedangkan $\alpha = -0{,}5$ memberi tepat 1 periode (cepat).
Visualisasi Interaktif
Geser kecepatan penyesuaian $\alpha$ dan amati: pada $\alpha$ besar kedua deret menempel ketat; saat $\alpha = 0$ tali putus dan keduanya menyimpang bebas (kembali ke kasus regresi palsu).
Cobalah:
- Lihat dua deret non-stasioner yang kointegrasi — keduanya mengembara, tetapi selisihnya tetap terikat di sekitar nol.
- Naikkan $\alpha$, perhatikan deret menempel lebih ketat dan deviasi cepat terkoreksi.
- Set $\alpha = 0$: kointegrasi hilang, kedua deret menyimpang sendiri-sendiri — inilah situasi regresi palsu.
Alur Keputusan Lengkap
Urutan baku saat menghadapi beberapa deret waktu:
- Uji unit root tiap deret (ADF/KPSS). Pastikan masing-masing I(1) — non-stasioner di level, stasioner setelah di-difference. Kalau ada yang sudah I(0) di level, prosedur kointegrasi tak berlaku untuknya.
- Uji kointegrasi. Dua variabel → Engle-Granger; banyak variabel → Johansen (sekaligus menentukan peringkat $r$).
- Pilih model:
- Ada kointegrasi → VECM (tangkap keseimbangan jangka panjang + koreksi).
- Tidak ada kointegrasi → VAR pada deret yang sudah di-difference (buang informasi level yang ternyata memang tak terikat).
- Campuran I(0) dan I(1) → pertimbangkan ARDL bounds test (Pesaran et al., 2001), yang sengaja dirancang untuk ordo integrasi campuran.
Cek Pemahaman
1. Dua deret $A_t$ dan $B_t$ masing-masing I(1). Anda regresikan $A$ pada $B$, simpan residualnya, lalu uji ADF pada residual dan gagal menolak hipotesis unit root (residual non-stasioner). Apa kesimpulan Anda tentang kointegrasi, dan model apa yang sebaiknya dipakai?
Lihat jawaban
Residual yang non-stasioner berarti “tali” tidak ada — deviasi $A_t - \hat{\beta}B_t$ ikut mengembara, tidak kembali ke keseimbangan. Maka $A$ dan $B$ tidak kointegrasi. Meregresikannya di level akan menghasilkan regresi palsu. Modelnya: bukan VECM, melainkan VAR pada deret yang sudah di-difference ($\Delta A_t$ dan $\Delta B_t$), yang menghilangkan komponen non-stasioner.
2. (Soal transfer.) Seorang analis pairs trading menemukan dua saham bank yang harganya kointegrasi dengan hubungan $P_{1,t} = 1{,}5\,P_{2,t}$ dan VECM memberi koefisien penyesuaian $\alpha = -0{,}25$ untuk saham pertama. (a) Tafsirkan $\alpha = -0{,}25$ dalam kalimat polos. (b) Hari ini spread $u_t = P_{1,t} - 1{,}5\,P_{2,t} = +8$ (saham pertama “kemahalan”). Posisi apa yang masuk akal dan kira-kira berapa cepat spread menutup?
Lihat jawaban
(a) Tiap periode, sekitar 25% deviasi dari keseimbangan dikoreksi oleh penyesuaian harga saham pertama. Karena negatif, saat saham pertama terlalu mahal relatif terhadap yang kedua, harganya cenderung turun kembali ke keseimbangan.
(b) Spread $+8$ berarti saham pertama kemahalan relatif terhadap keseimbangan, jadi strateginya jual (short) saham pertama dan beli (long) saham kedua, bertaruh spread mengecil. Kecepatan menutup: paruh-waktu $= \ln(0{,}5)/\ln(1 - 0{,}25) = \ln 0{,}5 / \ln 0{,}75 \approx 2{,}4$ periode — separuh spread (dari +8 ke +4) diperkirakan terhapus dalam sekitar 2–3 periode, dengan catatan hubungan kointegrasi tetap berlaku.
Cara di Software
# R
library(urca); library(tsDyn)
# Engle-Granger: regresi lalu uji residual
m <- lm(y ~ x); urca::ur.df(residuals(m), type = "none")
# Johansen (uji trace, peringkat kointegrasi):
jo <- ca.jo(data, type = "trace", K = 2); summary(jo)
# VECM (peringkat r = 1, satu hubungan):
vecm <- VECM(data, lag = 1, r = 1, estim = "ML"); summary(vecm)
* Stata
dfuller resid, noconstant // ADF residual Engle-Granger
vecrank y x, lags(2) // uji peringkat Johansen
vec y x, rank(1) lags(2) // estimasi VECM
# Python (statsmodels)
from statsmodels.tsa.stattools import coint
from statsmodels.tsa.vector_ar.vecm import coint_johansen, VECM
coint(y, x) # Engle-Granger (nilai kritis benar)
coint_johansen(data, det_order=0, k_ar_diff=1)
VECM(data, k_ar_diff=1, coint_rank=1).fit().summary()
Excel Companion
/excel/cointegration-vecm.xlsx berisi ringkasan konsep, lembar kalkulasi residual Engle-Granger dengan formula hidup (kolom $\hat{Y}_t$ dan $\hat{u}_t$ dari data mentah), simulasi peluruhan deviasi untuk berbagai $\alpha$, dan cheat-sheet kode R/Stata/Python yang menyertai materi ini.
Kesalahan Umum
Meregresikan deret non-stasioner di level tanpa uji kointegrasi. Inilah jebakan regresi palsu — dalam simulasi tadi, 76% kasus tampak “signifikan” padahal tak ada hubungan. Selalu uji unit root dulu, lalu uji kointegrasi, baru putuskan model.
Memakai VECM tanpa kointegrasi. Kalau residual tak stasioner, tak ada keseimbangan untuk dikoreksi. VECM jadi salah; pakai VAR pada deret yang sudah di-difference.
Memakai VAR level saat sebenarnya ada kointegrasi. Ini membuang informasi jangka panjang. VECM lebih efisien karena menangkap error-correction term yang VAR-difference abaikan.
Mengabaikan tanda $\alpha$. Error-correction term harus menarik kembali — $\alpha$ wajib negatif. $\alpha$ positif/signifikan menandakan mekanisme meledak dan model kemungkinan salah spesifikasi.
Salah menentukan ordo integrasi. Kointegrasi mensyaratkan variabel I(1). Campuran I(0) dan I(1) butuh penanganan khusus — gunakan ARDL bounds test, bukan Engle-Granger atau Johansen.
Memakai nilai kritis ADF biasa pada residual Engle-Granger. Karena $\hat{\beta}$ ditaksir, distribusi statistik bergeser; pakai nilai kritis MacKinnon khusus (otomatis di fungsi kointegrasi). Pakai tabel ADF standar membuat Anda terlalu sering menyimpulkan kointegrasi.
Terlalu yakin dengan Engle-Granger pada sampel kecil. Sensitif terhadap variabel mana yang dijadikan dependen. Untuk banyak variabel atau saat ragu, Johansen lebih andal.
Dipakai di Dunia Nyata
Hubungan jangka panjang makro Indonesia. Konsumsi-pendapatan, jumlah uang beredar-tingkat harga, ekspor-impor, nilai tukar-inflasi. Bank Indonesia dan peneliti memakai VECM untuk memisahkan keseimbangan jangka panjang dari guncangan jangka pendek — misalnya menaksir seberapa cepat inflasi domestik menyesuaikan diri terhadap perubahan nilai tukar Rupiah.
Pass-through nilai tukar. Hubungan jangka panjang antara kurs Rupiah dan harga domestik, dengan kecepatan penyesuaian $\alpha$ yang diukur VECM — relevan untuk kebijakan moneter dan proyeksi inflasi.
Pairs trading dan arbitrase statistik. Dua saham (atau komoditas) yang kointegrasi: saat spread menyimpang dari keseimbangan, trader bertaruh ia akan kembali — beli yang “murah”, jual yang “mahal”. Koefisien $\alpha$ memberi perkiraan paruh-waktu penutupan posisi. Dasar strategi statistical arbitrage di meja dealing.
Studi kelayakan dan proyeksi harga. Hubungan jangka panjang antara harga input dan output (misalnya harga batu bara dan tarif listrik, atau harga CPO dan produk turunannya) sering kointegrasi — berguna untuk memproyeksikan margin dalam model keuangan proyek jangka panjang.
Lanjutan
- Sebelumnya: VAR (Vector Autoregression) — fondasi sistem multivariat yang VECM perluas dengan suku koreksi.
- Perlu menyegarkan dasar stasioneritas dan uji ADF? Balik ke Stasioneritas dan unit root.
- Berikutnya: ARIMA untuk pemodelan deret tunggal, dan GARCH untuk volatilitas deret keuangan.
Reference
- Engle, R. F. & Granger, C. W. J. (1987), “Co-integration and error correction: representation, estimation, and testing”, Econometrica, 55(2), 251–276.
- Granger, C. W. J. & Newbold, P. (1974), “Spurious regressions in econometrics”, Journal of Econometrics, 2(2), 111–120.
- Johansen, S. (1991), “Estimation and hypothesis testing of cointegration vectors in Gaussian vector autoregressive models”, Econometrica, 59(6), 1551–1580.
- Murray, M. P. (1994), “A drunk and her dog: an illustration of cointegration and error correction”, The American Statistician, 48(1), 37–39.
- Pesaran, M. H., Shin, Y. & Smith, R. J. (2001), “Bounds testing approaches to the analysis of level relationships”, Journal of Applied Econometrics, 16(3), 289–326.