Autokorelasi (Durbin-Watson & Breusch-Godfrey)

Anda memodelkan inflasi bulanan Indonesia. Bulan ini inflasi melonjak — harga beras naik, ongkos angkut ikut terkerek. Pertanyaannya: apakah bulan depan kembali tenang seolah tak ada apa-apa? Hampir pasti tidak. Harga yang sudah naik jarang langsung turun, ekspektasi pedagang menempel, dan tekanan biaya merembet ke bulan berikutnya. Goncangan bulan ini meninggalkan “jejak” pada bulan depan.

Sekarang bayangkan model regresi Anda tidak berhasil menangkap seluruh dinamika itu. Bagian yang tidak tertangkap jatuh ke dalam galat model — selisih antara nilai sesungguhnya dan nilai prediksi. Karena goncangan menempel dari bulan ke bulan, galat bulan ini pun ikut menempel ke galat bulan depan. Galat tidak lagi acak; mereka saling berkorelasi sepanjang waktu. Itulah autokorelasi.

Masalahnya halus tetapi berbahaya. Metode kuadrat terkecil (OLS) tetap menebak garis dengan benar, tetapi ia salah menghitung seberapa yakin kita boleh percaya pada tebakan itu. Standar error keluar terlalu kecil, sehingga Anda merasa hasil “sangat signifikan” padahal sebenarnya tidak. Artikel ini menjelaskan cara mendeteksi autokorelasi dan memperbaikinya.

Intuisi: Galat yang Saling Menempel

Mari kita pelankan dulu. Setiap regresi menghasilkan residual untuk tiap pengamatan:

Bacalah polos: residual adalah selisih antara apa yang sungguh terjadi ($y$) dan apa yang ditebak model ($\hat{y}$, dibaca “y-topi”). Kalau penjualan sesungguhnya 75 dan model menebak 72, residualnya $e = 75 - 72 = 3$ (model meremehkan). Kalau aktualnya 70 dan tebakan 72, maka $e = 70 - 72 = -2$ (model melebih-lebihkan). Residual ini adalah cermin dari galat yang tak teramati — galat sejati ada di alam, residual adalah taksirannya dari data.

Pada data yang ditata menurut waktu (deret waktu), residual punya urutan: residual triwulan ke-1, lalu ke-2, ke-3, dan seterusnya. Pertanyaan kunci autokorelasi: kalau saya tahu residual periode lalu, bisakah saya menebak residual periode ini?

• Tanpa autokorelasi: residual acak. Tahu residual kemarin tidak membantu menebak residual hari ini. Tandanya berganti-ganti sering — positif, negatif, positif, negatif — tanpa pola.
• Dengan autokorelasi positif (kasus tersering di ekonomi): residual menempel. Setelah satu residual positif, residual berikutnya cenderung positif juga. Akibatnya residual membentuk gelombang lambat — beruntun lama di atas nol, lalu beruntun lama di bawah nol.

Gambar berikut menaruh dua keadaan itu berdampingan:

Cara cepat membaca gambar: hitung runtun (runs) — berapa kali tanda residual berganti. Sedikit runtun (gelombang panjang) menandakan autokorelasi positif; banyak runtun (zigzag rapat) menandakan tidak ada autokorelasi.

Menuliskannya: Galat AR(1)

Asumsi klasik OLS menuntut galat antarpengamatan tidak berkorelasi:

Di sini $u_t$ adalah galat sejati pada periode $t$, dan $\text{Cov}$ (kovarians) mengukur apakah dua galat bergerak bersama. Nilai nol berarti tahu satu galat tidak memberi informasi apa pun tentang galat lain. Autokorelasi (disebut juga korelasi serial) adalah pelanggaran asumsi ini.

Bentuk paling umum adalah autokorelasi orde satu, ditulis AR(1) (autoregressive orde 1):

Tiap lambang, polos:

• $u_t$ = galat periode sekarang; $u_{t-1}$ = galat periode sebelumnya (lambang $t-1$ artinya “satu langkah ke belakang”).
• $\rho$ (dibaca “rho”) = koefisien autokorelasi, mengukur seberapa kuat galat lama terbawa ke galat baru. Nilainya antara $-1$ dan $1$. Contoh: $\rho = 0{,}7$ berarti $70\%$ dari galat kemarin “terbawa” ke hari ini.
• $\varepsilon_t$ (dibaca “epsilon”) = goncangan baru yang benar-benar acak (white noise) — kejutan murni periode ini yang tak bisa ditebak.

Kalau $\rho > 0$ galat searah dari waktu ke waktu (gelombang lambat seperti panel utama gambar). Kalau $\rho = 0$ tidak ada autokorelasi. Kalau $\rho < 0$ galat berganti tanda terus (zigzag tajam) — jarang di ekonomi.

Kenapa ini penting: yang rusak dan yang tidak

Bagian paling sering disalahpahami. Autokorelasi tidak membuat koefisien bias (selama model tidak memuat variabel terikat yang di-lag — lebih lanjut di Kesalahan Umum). Yang rusak adalah standar error.

Intuisinya: kalau galat menempel, pengamatan yang berurutan membawa informasi yang tumpang-tindih — sepuluh pengamatan yang saling berkorelasi tidak sekaya sepuluh pengamatan yang benar-benar independen. OLS keliru mengira informasinya sebanyak yang tampak, lalu melaporkan standar error yang terlalu optimis. Anda jadi terlalu percaya diri pada hasil yang sebetulnya rapuh.

Durbin-Watson: Deteksi Klasik

Uji tertua dan paling dikenal untuk autokorelasi AR(1) adalah statistik Durbin-Watson:

Tiap lambang:

• $e_t$ = residual periode $t$; $e_{t-1}$ = residual periode sebelumnya.
• $\sum_{t=2}^{n}$ artinya “jumlahkan untuk semua pasangan berurutan, mulai pasangan ke-2 (karena pasangan butuh periode sebelumnya)”.
• Pembilang menjumlahkan kuadrat selisih antarresidual berturutan. Kalau residual menempel (mirip dengan tetangganya), selisihnya kecil → pembilang kecil.
• Penyebut menjumlahkan kuadrat seluruh residual (ukuran besarnya residual secara umum).

Hasilnya selalu di rentang $0$ sampai $4$. Hubungannya dengan $\rho$ ringkas dan sangat berguna:

Dari sini tiga patokan baca:

Misalkan sebuah model memberi $\hat{\rho} = 0{,}4$. Maka $DW \approx 2\,(1 - 0{,}4) = 1{,}2$ — di bawah 2, menandakan autokorelasi positif sedang.

Durbin-Watson punya dua keterbatasan yang wajib diingat: ia punya zona tidak konklusif (rentang antara batas $d_L$ dan $d_U$ pada tabel Durbin-Watson, tempat uji tidak bisa memutuskan), dan ia tidak sahih kalau model memuat variabel terikat yang di-lag (mis. $y_{t-1}$ sebagai pengubah). Untuk dua kasus itu, pakai Breusch-Godfrey.

Contoh hitung Durbin-Watson dari nol

Andaikan kita meregresikan konsumsi rumah tangga (Y, juta rupiah per bulan) terhadap tahun (X, sebagai proksi tren pendapatan) untuk 10 tahun berturut-turut. OLS menghasilkan garis $\hat{y} = 51{,}93 + 3{,}65\,x$. Kita ambil residualnya, lalu hitung $DW$.

Tabel berikut menyusun semua bahan. Kolom $e_t$ adalah residual (dibulatkan dua desimal), kolom $e_t - e_{t-1}$ selisih dengan residual sebelumnya, lalu dua kolom kuadrat untuk pembilang dan penyebut:

Perhatikan kolom $e_t$: tandanya beruntun — empat positif (baris 1–4), lalu empat negatif (baris 5–8), lalu dua positif lagi. Hanya dua kali berganti tanda untuk sepuluh titik. Gelombang lambat ini adalah sidik jari autokorelasi positif, persis seperti panel utama gambar di atas. (Catatan: kolom residual selalu berjumlah nol — sifat baku setiap regresi OLS.)

Sekarang masukkan dua jumlah terakhir ke rumus:

Nilai $DW = 0{,}61$ jauh di bawah 2, menandakan autokorelasi positif kuat. Ditafsirkan lewat hubungan dengan $\rho$: $\hat{\rho} \approx 1 - DW/2 = 1 - 0{,}61/2 \approx 0{,}69$ — hampir $70\%$ dari residual periode lalu terbawa ke periode ini.

Breusch-Godfrey: Deteksi yang Lebih Umum

Durbin-Watson hanya menguji autokorelasi orde satu dan gugur saat ada variabel terikat ber-lag. Uji Breusch-Godfrey lebih luwes: ia mendeteksi autokorelasi sampai orde berapa pun (AR(p)) dan tetap sahih dengan variabel terikat ber-lag. Inilah uji yang dianjurkan dalam praktik modern. Langkahnya berupa regresi bantu:

1. Jalankan regresi utama, simpan residualnya $e_t$.
2. Regresikan $e_t$ terhadap semua variabel bebas $X$ asli ditambah residual ber-lag $e_{t-1}, e_{t-2}, \dots, e_{t-p}$ (sebanyak $p$ lag yang ingin diuji). Ambil $R^2$ regresi bantu ini, sebut $R^2_{\text{bantu}}$.
3. Hitung statistik pengali Lagrange (Lagrange Multiplier):

Tiap lambang:

• $n$ = banyak pengamatan; $p$ = banyak lag yang diuji.
• $R^2_{\text{bantu}}$ = $R^2$ dari regresi bantu pada langkah 2. Kalau residual lama benar-benar membantu menjelaskan residual sekarang, $R^2_{\text{bantu}}$ besar → ada autokorelasi.
• $\sim \chi^2_p$ artinya “di bawah hipotesis nol (tanpa autokorelasi), $LM$ mengikuti sebaran khi-kuadrat dengan derajat bebas $p$”.

Catatan kecil tentang konvensi: sebagian buku menulis pengali sebagai $(n - p)$ alih-alih $n$, untuk menyesuaikan banyaknya pengamatan yang benar-benar terpakai setelah residual di-lag. Untuk $n$ besar kedua bentuk praktis sama (selisihnya menyusut). Perangkat lunak baku seperti statsmodels memakai $n\,R^2_{\text{bantu}}$ — itulah konvensi yang dipakai pada angka contoh di bawah, agar hasilnya dapat direproduksi persis.

Aturan putusan: kalau nilai-$p$ statistik $LM$ di bawah $0{,}05$, tolak hipotesis nol — ada autokorelasi sampai orde $p$.

Untuk data konsumsi 10 tahun di atas, uji Breusch-Godfrey memberi (diverifikasi dengan statsmodels):

• Orde 1: $LM = n\,R^2_{\text{bantu}} = 10 \times 0{,}498 = 4{,}98$, nilai-$p = 0{,}026$ → tolak nol, ada autokorelasi orde satu.
• Orde 2: $LM = 10 \times 0{,}739 = 7{,}39$, nilai-$p = 0{,}025$ → tetap signifikan sampai orde dua.

Kesimpulan Breusch-Godfrey sejalan dengan Durbin-Watson tadi: residual model ini memang berautokorelasi positif.

Solusi: Standar Error yang Dikoreksi

Begitu autokorelasi terdeteksi, apa obatnya? Karena yang rusak adalah standar error (bukan koefisien), pendekatan modern tidak mengutak-atik koefisien — cukup menghitung ulang standar error dengan rumus yang tahan autokorelasi.

Standar baku adalah Newey-West, sering disingkat HAC (Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent). Idenya: koefisien dibiarkan apa adanya (toh tak bias), hanya standar error yang dihitung ulang dengan formula yang memperhitungkan korelasi antarresidual sampai sejumlah lag tertentu. Banyak lag yang dipakai (disebut lag truncation $L$) sering diawali dengan patokan:

dengan $T$ = banyak periode dan $\lfloor \cdot \rfloor$ tanda “pembulatan ke bawah”. Untuk $T = 200$, misalnya, $L = \lfloor 200^{1/4} \rfloor = \lfloor 3{,}76 \rfloor = 3$.

Seberapa besar bedanya?

Agar terasa konkret, kita simulasikan satu deret panjang ($T = 200$) dengan dua bahan yang sama-sama terotokorelasi: regresor $x$ sendiri mengikuti AR(1) ber-$\rho_x = 0{,}9$ (bukan sekadar angka acak — tren ekonomi nyata memang menempel begitu), dan galat mengikuti AR(1) ber-$\rho = 0{,}85$ (autokorelasi positif kuat). Model sejatinya $y = 1 + 0{,}6\,x + u$, dengan benih acak (random seed) 177 agar bisa direproduksi persis. Kita bandingkan standar error OLS biasa dengan Newey-West (diverifikasi statsmodels, $L = \lfloor 200^{1/4} \rfloor = 3$):

Bacalah baris demi baris. Koefisiennya persis sama — Newey-West tidak menyentuhnya. Tetapi standar error yang benar (HAC) di setup ini ternyata hampir dua kali lipat standar error OLS: OLS meremehkan ketidakpastian sampai separuhnya. Akibatnya statistik-$t$ anjlok dari 13,5 menjadi 6,8. Pada contoh ini hasilnya masih signifikan, tetapi bayangkan kasus di batas: $t$ OLS yang “meyakinkan” di angka 2,5 bisa jadi runtuh ke 1,2 yang tidak signifikan begitu standar error dikoreksi. Di situlah autokorelasi yang diabaikan menjerumuskan kesimpulan.

Satu catatan penting agar tidak salah kaprah: faktor “dua kali lipat” ini bukan aturan universal. Besar koreksi HAC tumbuh seiring kekuatan autokorelasi pada galat maupun regresor — kalau regresor $x$ acak murni (tak terotokorelasi), koreksinya menyusut mendekati nol meski galatnya sangat menempel. Pelebaran standar error paling tajam justru saat galat dan regresor sama-sama bergerak lamban, seperti pada deret makro yang khas.

Bereksperimen Sendiri

Geser koefisien autokorelasi $\rho$ dan amati tiga hal: bentuk runtun residual, nilai Durbin-Watson, dan selisih standar error OLS versus Newey-West.

Yang patut Anda perhatikan:

1. Geser $\rho$ ke arah positif — residual mulai “menempel”, membentuk runtun naik-turun yang makin panjang.
2. Saat $\rho$ naik, Durbin-Watson turun mendekati 0.
3. Selisih standar error OLS dan Newey-West makin melebar seiring autokorelasi menguat — persis pola yang baru kita lihat di tabel simulasi.

Cara Cek di Perangkat Lunak

Setelah paham asal-usulnya, di praktik tinggal pakai fungsi bawaan. Tiga lingkungan tersering:

# R
m <- lm(y ~ x, data = ts_dat)
library(lmtest); library(sandwich)
dwtest(m)                                  # Durbin-Watson
bgtest(m, order = 4)                        # Breusch-Godfrey (4 lag)
coeftest(m, vcov = NeweyWest(m, lag = 4))   # solusi HAC Newey-West

* Stata
reg y x
estat dwatson           // Durbin-Watson
estat bgodfrey, lags(4) // Breusch-Godfrey
newey y x, lag(4)       // Newey-West (HAC)

# Python
import statsmodels.api as sm
from statsmodels.stats.stattools import durbin_watson
from statsmodels.stats.diagnostic import acorr_breusch_godfrey

m = sm.OLS(y, X).fit()
durbin_watson(m.resid)                      # Durbin-Watson
acorr_breusch_godfrey(m, nlags=4)           # Breusch-Godfrey (4 lag)
m_hac = sm.OLS(y, X).fit(cov_type="HAC", cov_kwds={"maxlags": 4})  # HAC

Excel Companion

/excel/autokorelasi.xlsx berisi ringkasan konsep, kalkulator Durbin-Watson dari kolom residual, dan cheat-sheet kode R/Stata/Python yang menyertai materi ini.

⬇ Unduh autokorelasi.xlsx

Cek Pemahaman

1. Sebuah model deret waktu menghasilkan statistik Durbin-Watson $DW = 1{,}0$. Perkirakan koefisien autokorelasi $\hat{\rho}$-nya, dan jelaskan dalam satu kalimat apa artinya bagi standar error model.

2. Dari lima residual berurutan sebuah model: $e_1 = 2$, $e_2 = 3$, $e_3 = 1$, $e_4 = -2$, $e_5 = -3$. Hitung statistik Durbin-Watson dari nol.

3. (Soal transfer.) Seorang peneliti BI meregresikan inflasi bulanan terhadap pertumbuhan uang beredar, $T = 120$ bulan. Durbin-Watson keluar 0,8. (a) Apakah ia boleh langsung percaya pada nilai-$p$ koefisiennya? (b) Berapa lag awal yang ia pakai untuk standar error Newey-West dengan patokan $T^{1/4}$? (c) Apa yang terjadi pada koefisien estimasinya setelah memakai Newey-West?

Kesalahan Umum

Mengira autokorelasi membuat koefisien bias. Untuk model tanpa variabel terikat ber-lag, koefisien OLS tetap tak bias. Hanya standar error yang salah. (Pengecualian penting: kalau model memuat $y_{t-1}$ sebagai pengubah, autokorelasi galat memang membuat koefisien bias — di situ butuh penanganan dinamis, bukan sekadar koreksi standar error.)

Memakai Durbin-Watson padahal ada variabel terikat ber-lag. Dalam kasus ini $DW$ bias ke arah 2, sehingga seolah-olah tidak ada masalah padahal ada. Pakai Breusch-Godfrey (atau statistik Durbin’s h) sebagai gantinya.

Mengira tren yang belum dimodelkan sebagai autokorelasi. Kadang “autokorelasi” sebetulnya adalah tren atau pola musiman yang belum masuk model. Periksa kestasioneran dulu (lihat Stationarity & Unit Root) sebelum buru-buru menyimpulkan galatnya berautokorelasi.

Memilih lag Newey-West terlalu pendek. Lag 0–1 sering tidak cukup menangkap autokorelasi. Pakai $\lfloor T^{1/4} \rfloor$ sebagai titik awal, atau pilihan bandwidth otomatis yang tersedia di perangkat lunak.

Menjadikan Cochrane-Orcutt sebagai pilihan baku. Metode transformasi lama ini mengandalkan asumsi bentuk AR(1) yang spesifik. Newey-West lebih tahan banting karena tidak menuntut bentuk autokorelasi tertentu — itu sebabnya ia jadi standar modern.

Dipakai di Dunia Nyata

Makroekonomi (inflasi, PDB, nilai tukar). Hampir semua deret makro Indonesia berautokorelasi — goncangan ekonomi merembet antarperiode. Newey-West menjadi praktik standar di kajian kebijakan moneter Bank Indonesia, dan laporan yang melaporkan statistik-$t$ tanpa koreksi HAC kerap dipertanyakan penelaah.

Imbal hasil saham dan volatilitas. Imbal hasil saham harian sering punya autokorelasi lemah, tetapi volatilitas-nya berautokorelasi kuat (periode bergejolak mengelompok). Pemodelan volatilitas yang tepat memakai keluarga GARCH (lihat GARCH & Volatilitas).

Penjualan musiman. Data penjualan ritel bulanan berkorelasi antarbulan — bukan hanya musiman, tetapi juga karena momentum permintaan. Mendeteksi autokorelasi mengungkap pola dinamis yang perlu dimodelkan eksplisit, bukan disembunyikan ke dalam galat.

Lanjutan

Autokorelasi adalah satu dari dua pelanggaran “standar error” yang wajib dikuasai sebelum menafsirkan regresi deret waktu mana pun. Begitu Anda paham bahwa koefisien tetap selamat tetapi standar error perlu dikoreksi, peta jalannya jelas.

• Sebelumnya: Heteroskedastisitas — pelanggaran “kembar”-nya (ragam galat tak seragam), dengan obat yang serupa (standar error robust).
• Berikutnya: Robust Standard Errors — kerangka umum standar error yang dikoreksi, termasuk HAC dan berklaster.
• Untuk data deret waktu, periksa dulu Stationarity & Unit Root agar tidak mengira tren sebagai autokorelasi, lalu lanjut ke ARIMA Modeling untuk memodelkan dinamika secara eksplisit.

Fondasi: Asumsi Klasik Gauss-Markov (BLUE).

Reference

• Durbin, J. & Watson, G. S. (1950, 1951), “Testing for serial correlation in least squares regression,” Biometrika.
• Breusch, T. S. (1978) & Godfrey, L. G. (1978), uji pengali Lagrange untuk korelasi serial.
• Newey, W. K. & West, K. D. (1987), “A simple, positive semi-definite, heteroskedasticity and autocorrelation consistent covariance matrix,” Econometrica.