Anderson-Rubin Test (Weak-IV-Robust)

Seorang peneliti ingin tahu apakah tambahan satu tahun sekolah benar-benar menaikkan penghasilan. Masalahnya, orang yang sekolah lebih lama biasanya juga berbeda dalam hal yang tidak terlihat — kemampuan bawaan, dorongan keluarga — sehingga membandingkan penghasilan apa adanya menyesatkan. Untuk memutus simpul itu, ia memakai sebuah pendorong dari luar: jarak rumah ke kampus terdekat. Dugaannya, orang yang tinggal dekat kampus cenderung sekolah lebih lama, padahal jarak rumah tidak ada urusannya langsung dengan penghasilan.

Tetapi jarak ke kampus ternyata pendorong yang lemah: ia hanya sedikit menggeser lama sekolah. Saat peneliti menjalankan perhitungan, perangkat lunak tetap memberi angka rapi: “tambahan sekolah menaikkan penghasilan 8 persen, selang kepercayaan 6 sampai 10 persen.” Angka itu terlihat meyakinkan. Padahal, karena pendorongnya lemah, selang sempit itu palsu — data sebenarnya tidak cukup untuk menentukan angkanya seteliti itu.

Pertanyaannya: adakah cara menghitung selang kepercayaan yang tetap jujur walau pendorongnya lemah — yang melebar saat data memang tidak informatif, alih-alih berpura-pura yakin? Ada. Namanya uji Anderson-Rubin, lahir tahun 1949, dan justru kelemahan pendorong itulah yang ia tangani dengan elegan.

Intuisi: Menebak Nilai, Bukan Menaksirnya

Cara baku (uji Wald, atau uji-t pada 2SLS) bekerja dua langkah: pertama menaksir satu angka terbaik untuk efek — sebut $\hat{\beta}$ — lalu membangun selang di sekelilingnya, $\hat{\beta} \pm 1{,}96 \times SE$. Seluruh selang itu bertumpu pada anggapan bahwa $\hat{\beta}$ menyebar normal di sekitar nilai sebenarnya. Saat instrumen lemah, anggapan itu rusak: sebaran $\hat{\beta}$ menjadi miring dan tidak normal, sehingga selang yang dibangun di atasnya ikut salah — biasanya terlalu sempit.

Anderson-Rubin membalik logikanya. Ia tidak menaksir satu angka terbaik dulu. Sebaliknya, ia bertanya satu per satu: “Mungkinkah efek sebenarnya bernilai $\beta_0$?” untuk tiap kandidat nilai $\beta_0$. Tiap kandidat diadili sebagai sebuah hipotesis. Yang lolos pengadilan dikumpulkan; itulah selang kepercayaannya. Karena tidak pernah bersandar pada sebaran $\hat{\beta}$, kelemahan instrumen tidak merusak apa pun.

Bagaimana cara mengadili satu kandidat $\beta_0$? Pakai gagasan inti instrumen: instrumen $Z$ (jarak ke kampus) hanya boleh memengaruhi hasil $Y$ (penghasilan) lewat variabel endogen $X$ (lama sekolah), tidak lewat jalan lain. Sekarang bentuk besaran $Y - \beta_0 X$ — ini hasil setelah efek $X$ “dikurangkan” pada nilai yang sedang dihipotesiskan. Logikanya:

• Kalau $\beta_0$ memang nilai yang benar, maka $Y - \beta_0 X$ sudah membersihkan seluruh peran $X$, sehingga sisa itu tidak boleh lagi punya hubungan dengan instrumen $Z$.
• Kalau $\beta_0$ salah, sebagian peran $X$ tersisa di $Y - \beta_0 X$, dan karena $Z$ berhubungan dengan $X$, sisa itu masih berkorelasi dengan $Z$.

Jadi mengadili $\beta_0$ = menguji apakah $Y - \beta_0 X$ masih berkorelasi dengan $Z$. Korelasi sisa besar → tolak $\beta_0$. Korelasi sisa kecil → $\beta_0$ lolos. Itulah seluruh isi uji Anderson-Rubin.

Kenapa Uji-t Biasa Menyesatkan

Uji-t / uji Wald pada 2SLS menolak hipotesis bila statistik teramati jatuh di ekor sebuah kurva lonceng (sebaran normal), pada dua sisi. Selang kepercayaannya adalah cermin uji itu: semua nilai yang tidak jatuh di ekor.

Inti masalahnya: kurva lonceng pada gambar di atas adalah anggapan, bukan fakta. Anggapan itu hanya tepat kalau instrumen cukup kuat. Saat instrumen lemah, sebaran $\hat{\beta}$ yang sesungguhnya menjadi miring dan bertumpuk — bukan lonceng simetris — sehingga batas kritis $\pm z^*$ jatuh di tempat yang salah. Hasilnya: uji menolak terlalu sering, dan selang kepercayaan jadi sempit-palsu. Bandingkan dengan ambang Lee dkk 2022 yang menunjukkan betapa kuatnya instrumen harus sebelum kurva lonceng ini boleh dipercaya: $F > 104{,}7$, jauh di atas aturan lama $F > 10$.

Statistik Anderson-Rubin

Untuk menguji $H_0: \beta = \beta_0$, kita ukur seberapa kuat sisa $Y - \beta_0 X$ masih dijelaskan oleh instrumen $Z$. Statistiknya:

Dalam notasi padat (dengan $P_Z$ = proyeksi ke ruang instrumen, $M_Z = I - P_Z$ = sisanya):

Penjelasan tiap lambang, polos:

• $\beta_0$ = nilai efek yang sedang dihipotesiskan (kandidat yang diadili), bukan nilai taksiran. Misal $\beta_0 = 1{,}5$ berarti hipotesis “tiap satu satuan $X$ menaikkan $Y$ sebesar 1,5”.
• $Y - \beta_0 X$ = hasil setelah efek $X$ dikurangkan pada nilai hipotesis. Polosnya: untuk tiap pengamatan, $\text{sisa}_i = y_i - \beta_0\,x_i$. Kalau $y_i = 9$, $x_i = 6$, dan $\beta_0 = 1{,}5$, maka sisanya $9 - 1{,}5 \times 6 = 0$.
• Pembilang = bagian variasi sisa itu yang berhasil dijelaskan instrumen $Z$ (lewat regresi sisa terhadap $Z$). Kalau $\beta_0$ benar, bagian ini kecil; kalau salah, besar.
• Penyebut = variasi sisa yang tidak dijelaskan $Z$ (galat acak), sebagai pembanding/penskala.
• $k$ = banyak instrumen. Dalam contoh satu instrumen, $k = 1$.
• $n$ = banyak pengamatan; $n - k - 1$ = derajat bebas penyebut (dikurangi instrumen dan satu konstanta).

Bentuk ini persis sebuah uji-F atas regresi $Y - \beta_0 X$ terhadap $Z$: pembilang = ragam yang dijelaskan per instrumen, penyebut = ragam galat per derajat bebas. Maka di bawah $H_0$, statistiknya mengikuti sebaran yang sudah kita kenal:

Yang krusial: sebaran ini tidak bergantung sama sekali pada kekuatan instrumen. Apa pun seberapa lemah $Z$ mendorong $X$, statistik AR tetap menyebar $F$ (atau $\chi^2/k$) di bawah $H_0$. Inilah sumber kekebalannya.

Sebaran null-nya menceng ke kanan, dan kita menolak bila statistik jatuh di ekor kanan (korelasi sisa terlalu besar untuk kebetulan):

Interval Kepercayaan: Membalik Uji

Di sinilah keindahannya. Uji-t membentuk selang dari satu titik: $\hat{\beta} \pm 1{,}96 \times SE$. Anderson-Rubin tidak punya satu titik untuk dijadikan pusat — jadi ia membentuk selang dengan cara berbeda, disebut membalik uji (test inversion):

Bacalah polos: kumpulkan semua kandidat $\beta_0$ yang tidak ditolak uji AR pada taraf 5%. Himpunan nilai yang lolos itulah selang kepercayaannya. Tidak ada $\pm SE$; yang ada hanya “uji tiap kandidat, simpan yang lolos”.

Cara kerjanya:

1. Pilih sederet kandidat $\beta_0$ (misal dari −2 sampai 5, rapat-rapat).
2. Untuk tiap kandidat, hitung $AR(\beta_0)$.
3. Bandingkan dengan nilai kritis (untuk satu instrumen sampel besar, $\chi^2_1$ pada 95% $= 3{,}84$).
4. Kandidat dengan $AR \le 3{,}84$ masuk selang; yang $AR > 3{,}84$ ditolak.

Tiga watak penting selang AR — semuanya fitur, bukan cacat:

• Instrumen kuat → selang AR mirip selang Wald (keduanya sahih, jadi sepakat).
• Instrumen lemah → selang AR lebih lebar dari Wald — jujur mengakui data kurang menentukan.
• Instrumen sangat lemah → selang AR bisa terbuka di satu sisi atau bahkan mencakup seluruh garis bilangan. Artinya: data benar-benar tidak bisa menentukan $\beta$. Uji-t menyembunyikan kenyataan ini di balik selang sempit-palsu; AR menampilkannya apa adanya.

Contoh Hitung dari Nol

Mari uji satu kandidat sampai tuntas dengan dataset kecil, lalu bentuk selangnya. Delapan pengamatan: $Z$ = instrumen, $X$ = variabel endogen, $Y$ = hasil.

Langkah 1 — data mentah.

Langkah 2 — uji kandidat $\beta_0 = 1{,}5$. Bentuk sisa $r_i = y_i - 1{,}5\,x_i$ untuk tiap baris:

Rata-rata: $\bar{z} = 4{,}5$ dan $\bar{r} = 0{,}875$.

Langkah 3 — seberapa kuat instrumen $Z$ menjelaskan sisa $r$? Hitung kolom bantu seperti pada regresi sederhana: simpangan $Z$, simpangan $r$, hasil kalinya, dan kuadrat simpangan $Z$.

Kemiringan regresi sisa terhadap instrumen: $\dfrac{-4{,}0000}{42{,}00} = -0{,}09524$. Karena kecil dan nyaris tak berpola, instrumen hampir tidak menjelaskan sisa — pertanda $\beta_0 = 1{,}5$ kandidat yang baik. Memecah variasi: bagian dijelaskan $= 0{,}38095$, bagian tersisa $= 5{,}49405$.

Langkah 4 — statistik AR. Dengan $k = 1$ instrumen dan $n - k - 1 = 8 - 1 - 1 = 6$ derajat bebas:

Langkah 5 — keputusan. Nilai kritis $F_{1,6}$ pada 5% $= 5{,}987$. Karena $0{,}4160 \le 5{,}987$, kita gagal tolak: $\beta_0 = 1{,}5$ masuk selang kepercayaan.

Ulangi untuk kandidat lain (verifikasi independen dengan Python):

Langkah 6 — selang dengan membalik uji. Dengan memindai kandidat rapat-rapat dan menyimpan yang lolos, batas selang ada di tempat $AR(\beta_0)$ tepat menyentuh 5,987:

Sebagai pembanding, taksiran titik 2SLS di sini $\hat{\beta} = 1{,}40$ (berada di dalam selang AR), dan selang Wald 2SLS-nya $[1{,}06;\ 1{,}75]$ — sedikit lebih sempit. Pada data ini instrumen cukup kuat sehingga kedua selang berdekatan. Geser instrumen menjadi lemah di widget di bawah, dan jurang antara keduanya akan menganga.

Bereksperimen Sendiri

Geser pengatur kekuatan instrumen $\pi$ dan ukuran sampel $n$. Perhatikan kurva $AR(\beta_0)$: bagian yang berada di bawah garis kritis 3,84 (nilai $\chi^2_1$ pada 95%) membentuk selang kepercayaan AR. Lemahkan instrumen — kurva mendatar, selang melebar, kadang terbuka di satu sisi.

Menafsirkan Hasil

Bagaimana membaca keluaran AR di lapangan:

• Selang sempit dan masuk akal → data informatif; efeknya tertaksir cukup teliti. Biasanya muncul saat instrumen kuat.
• Selang lebar → data kurang menentukan; jangan mengklaim presisi yang tidak dimiliki. Ini bukan kegagalan uji, melainkan potret kejujuran soal apa yang data sanggup katakan.
• Selang terbuka (mis. $(-\infty,\ 0{,}3] \cup [2{,}1,\ \infty)$ atau seluruh garis) → instrumen terlalu lemah; data praktis tidak bisa menentukan $\beta$. Pesan praktisnya: cari instrumen yang lebih kuat, atau akui keterbatasannya secara terbuka di laporan.
• Nol di luar selang AR → bukti bahwa efeknya berbeda dari nol tetap berdiri bahkan tanpa mengandalkan kekuatan instrumen — klaim kausal yang jauh lebih tahan-banting daripada uji-t biasa.

Cara di Perangkat Lunak

# R
library(ivmodel)
m <- ivmodel(Y = y, D = x, Z = z)
AR.test(m)            # statistik Anderson-Rubin + selang kepercayaan
# atau:
library(ivDiag); AR(data, Y = "y", D = "x", Z = "z")

* Stata
ssc install weakiv
weakiv ivregress 2sls y (x = z)    // AR + selang tahan instrumen lemah
condivreg y (x = z)                // conditional likelihood-ratio (Moreira)

# Python (linearmodels)
from linearmodels.iv import IV2SLS
res = IV2SLS.from_formula('y ~ 1 + [x ~ z]', data=df).fit()
# untuk just-identified (1 instrumen, 1 endogen) hitung AR(beta0) manual:
#   sisa r = y - beta0*x ; uji-F regresi r terhadap z ; balik uji untuk selang

Kapan AR, Kapan yang Lain

Cek Pemahaman

1. Pada dataset contoh di atas, uji kandidat $\beta_0 = 1{,}3$ secara konsep (tanpa menghitung penuh): apakah ia masuk atau keluar selang, dan apa artinya bagi sisa $Y - 1{,}3\,X$?

2. (Soal transfer.) Seorang peneliti meregresikan penghasilan terhadap lama sekolah dengan instrumen jarak ke kampus. $F$ tahap pertama hanya 9. Uji-t 2SLS memberi selang $[6\%;\ 10\%]$, sedangkan selang Anderson-Rubin keluar sebagai $[-2\%;\ 21\%]$. (a) Selang mana yang sebaiknya dilaporkan, dan kenapa? (b) Apa makna lebarnya selang AR? (c) Apakah peneliti boleh menyimpulkan “sekolah jelas menaikkan penghasilan”?

Kesalahan Umum

Mengabaikan AR karena selangnya lebar. Selang lebar adalah informasi jujur: instrumen Anda memang tidak menentukan $\beta$ secara teliti. Menyembunyikannya di balik selang Wald yang sempit-palsu justru menyesatkan pembaca.

Mengira selang terbuka berarti ada kesalahan hitung. Itu fitur, bukan galat. Saat instrumen sangat lemah, data memang tidak informatif tentang $\beta$, dan AR menampilkannya apa adanya alih-alih memalsukan presisi.

Memakai AR padahal instrumen jelas kuat. Kalau $F$ tahap pertama sangat besar, uji Wald sudah sahih dan lebih akrab bagi pembaca. AR adalah alat untuk kasus meragukan, bukan keharusan di setiap regresi instrumental.

Mencampur AR dengan logika “taksir lalu $\pm SE$”. AR tidak punya pusat $\hat{\beta}$ dan tidak memakai $SE$. Selangnya lahir dari membalik uji (kumpulkan kandidat yang lolos), bukan dari menambah-kurangkan galat baku. Memaksa membaca selang AR sebagai $\hat{\beta} \pm \text{sesuatu}$ salah kaprah.

Lupa AR menguji semua koefisien endogen sekaligus. Dengan lebih dari satu variabel endogen, $AR(\beta_0)$ menguji vektor hipotesis serentak; tafsirnya berbeda dari kasus satu endogen. Pakai metode proyeksi atau pendekatan khusus untuk menyoroti satu koefisien.

Dipakai di Dunia Nyata

Replikasi studi instrumental klasik. Banyak studi imbal-balik pendidikan memakai instrumen lemah (jarak ke sekolah, aturan usia masuk, kebijakan wajib belajar). Saat direplikasi dengan AR, selangnya kerap jauh lebih lebar daripada yang dilaporkan asli — pelajaran penting soal kerapuhan klaim kausal lama.

Evaluasi kebijakan dengan instrumen alami. Penelitian dampak kebijakan di Indonesia sering bersandar pada pendorong alami yang kekuatannya tak terjamin — variasi curah hujan untuk hasil panen, jarak geografis ke fasilitas, atau ambang aturan administratif. AR menjaga agar klaim kausal tidak overclaim saat pendorong itu ternyata lemah.

Riset ekonomi kesehatan. Instrumen berbasis variasi pasokan layanan antar-wilayah (jarak ke rumah sakit, ketersediaan dokter) sering lemah. AR menjadi standar pelaporan di jurnal kesehatan papan atas justru karena ia jujur saat instrumen tidak meyakinkan.

Lanjutan

• Sebelumnya: Instrumen lemah dan ambang Lee 2022 — kenapa $F > 10$ tidak cukup dan dari mana ambang $F > 104{,}7$ berasal; AR adalah jawaban langsung atas masalah ini.
• Fondasi: Variabel instrumental dan 2SLS langkah demi langkah — mekanika instrumen dan taksiran titik yang AR jadikan pembanding.
• Terkait: Uji Hausman untuk memutuskan apakah instrumen memang diperlukan, dan Apa itu endogeneity untuk akar masalahnya.

Rujukan

• Anderson, T.W. & Rubin, H. (1949), “Estimation of the parameters of a single equation in a complete system of stochastic equations”, Annals of Mathematical Statistics.
• Moreira, M. (2003), “A conditional likelihood ratio test for structural models”, Econometrica.
• Andrews, I., Stock, J. & Sun, L. (2019), “Weak instruments in IV regression: theory and practice”, Annual Review of Economics.
• Lee, D., McCrary, J., Moreira, M. & Porter, J. (2022), “Valid t-ratio inference for IV”, American Economic Review.