2SLS Manual Step-by-Step

Seorang ekonom ingin mengukur satu angka yang kelihatannya sederhana: berapa kenaikan upah untuk setiap tambahan satu tahun sekolah. Ia kumpulkan data ribuan pekerja, regresikan upah terhadap lama sekolah, dan dapat angka yang besar. Tetapi ia ragu. Orang yang bersekolah lebih lama mungkin memang lebih cakap, lebih tekun, lebih beruntung sejak lahir — dan sifat-sifat itu menaikkan upah lewat jalur lain, bukan cuma lewat sekolah. Garis regresinya jadi mencampur dua hal: efek sekolah yang ingin ia ukur, dan efek “kecakapan bawaan” yang ikut menumpang.

Masalahnya, kecakapan bawaan tidak tercatat di data mana pun. Tidak bisa dimasukkan sebagai kolom. Selama ia bersembunyi di dalam data, angka regresi biasa akan selalu salah — dan menambah data tidak menolong sama sekali, karena yang rusak bukan ketepatan, melainkan arahnya.

Jalan keluarnya cerdik: cari satu variabel “pengungkit” yang menggerakkan lama sekolah tanpa ikut-ikutan tertular kecakapan bawaan, lalu gunakan pengungkit itu untuk menyaring bagian sekolah yang bersih. Cara melakukannya, langkah demi langkah, adalah Two-Stage Least Squares — dua tahap kuadrat terkecil, disingkat 2SLS.

Kenapa OLS Bias Saat Regresor Endogen

Mari pakai lambang yang konsisten sepanjang artikel. Modelnya:

Tiap lambang:

• $Y$ = variabel hasil yang ingin dijelaskan (di contoh kita: upah, dalam juta rupiah).
• $X$ = regresor yang efeknya ingin diukur (lama sekolah, dalam tahun).
• $\beta_1$ = angka yang kita kejar — kenaikan $Y$ untuk tiap tambahan satu satuan $X$.
• $u$ = error, yaitu segala hal yang memengaruhi $Y$ tetapi tidak masuk model (kecakapan bawaan, keberuntungan, koneksi keluarga). Bacalah polos: $u = Y - (\beta_0 + \beta_1 X)$, selisih nilai aktual dari yang dijelaskan garis.

OLS (kuadrat terkecil biasa) menghasilkan angka yang benar hanya jika $X$ tidak berkaitan dengan $u$. Secara teknis syaratnya $\text{Cov}(X, u) = 0$ — “kovarians nol”, artinya $X$ dan $u$ tidak bergerak bersama. Saat syarat itu pecah, $X$ disebut endogen dan OLS bias.

Kenapa bisa pecah? Karena kecakapan bawaan ada di dalam $u$ (kita tak punya kolomnya), sekaligus mendorong orang sekolah lebih lama (masuk ke $X$). Jadi $X$ dan $u$ naik bersama. Ketika OLS melihat upah tinggi pada orang berpendidikan tinggi, ia menumpukan seluruh kenaikan itu ke sekolah — padahal sebagian datang dari kecakapan yang menumpang. Hasilnya $\beta_1$ ditaksir terlalu besar.

Inilah inti gagasannya, dalam satu gambar:

Gambar ini mengandung seluruh strategi. Variabel $X$ punya dua bagian: bagian bersih yang digerakkan instrumen $Z$, dan bagian kotor yang ikut bergerak dengan perancu $U$. 2SLS membuang bagian kotor, menyimpan yang bersih, lalu memakainya untuk estimasi.

Instrumen: Pengungkit yang Bersih

Variabel yang dipakai sebagai pengungkit disebut instrumen, dilambangkan $Z$. Agar sah, $Z$ harus memenuhi dua syarat:

Syarat pertama bisa dicek dengan data: kalau $Z$ tak menggerakkan $X$, instrumennya lemah dan 2SLS jadi tak bisa dipercaya (bahasan tersendiri di weak instruments). Syarat kedua tidak bisa dibuktikan penuh dari angka — Anda harus berargumen, dan reviewer akan menyerang tepat di titik ini.

Contoh instrumen klasik (Card, 1995): jarak tempat tinggal ke universitas terdekat, dipakai sebagai instrumen untuk lama sekolah.

• Relevan? Ya — tinggal dekat kampus menurunkan ongkos kuliah, jadi menaikkan kemungkinan sekolah lebih lama.
• Eksklusi? Argumennya: jarak ke kampus tidak langsung menentukan upah seseorang selain lewat pengaruhnya pada pendidikan. (Argumen ini bisa diperdebatkan — itu wajar; instrumen selalu menuntut pembelaan.)

Dua Tahap 2SLS

Strategi “buang yang kotor, simpan yang bersih” dijalankan lewat dua regresi berurutan.

Tahap 1: regres X pada instrumen

Pertama, jelaskan $X$ memakai $Z$ dengan regresi biasa:

Lambang baru:

• $\pi_1$ (dibaca “pi-satu”) = seberapa banyak $X$ berubah tiap $Z$ naik satu satuan — kekuatan pengungkit.
• $\pi_0$ = intercept tahap 1.
• $v$ = sisa $X$ yang tidak dijelaskan $Z$ (di sinilah bagian “kotor” $X$ bersembunyi).

Dari regresi ini ambil nilai prediksi $\hat{X}$ (dibaca “X-topi”):

$\hat{X}$ adalah bagian $X$ yang murni digerakkan oleh $Z$. Karena $Z$ bersih dari perancu, $\hat{X}$ juga bersih — inilah versi $X$ yang aman dipakai.

Tahap 2: regres Y pada X prediksi

Sekarang ganti $X$ asli dengan $\hat{X}$ yang sudah bersih, lalu regresikan $Y$ terhadapnya:

Koefisien $\beta_1$ dari tahap kedua inilah estimasi 2SLS. Ia konsisten — mendekati nilai sebenarnya saat data membesar — meski $X$ aslinya endogen. Logikanya: kita tidak pernah membiarkan bagian kotor $X$ menyentuh tahap kedua, jadi pencemaran dari perancu tidak ikut masuk.

Contoh Hitung dari Nol

Mari kerjakan satu kasus kecil sampai tuntas, dengan angka yang dirancang agar pola endogenitasnya kelihatan jelas. Delapan pekerja. $X$ = lama sekolah (tahun), $Y$ = upah (juta rupiah), $Z$ = jarak ke kampus saat remaja (km — makin besar makin jauh).

Supaya pelajarannya transparan, data ini dibuat dengan kebenaran yang kita tahu: efek sekolah yang sesungguhnya adalah $\beta_1 = 0{,}5$ (tiap tahun sekolah menambah upah 0,5 juta), dengan intercept $\beta_0 = 1$. Kecakapan bawaan disisipkan ke dalam $X$ dan $Y$ sekaligus — itulah sumber endogenitasnya. Tugas kita: lihat apakah OLS gagal menemukan 0,5, dan apakah 2SLS berhasil.

Data mentah.

Rata-rata: $\bar{z} = 36/8 = 4{,}5$ km, $\bar{x} = 100/8 = 12{,}5$ tahun, $\bar{y} = 58/8 = 7{,}25$ juta.

OLS naif lebih dulu — supaya kita lihat biasnya

Sebelum 2SLS, jalankan regresi biasa $Y$ pada $X$ memakai rumus slope baku (lihat regresi sederhana):

OLS memberi 0,8226 — jauh di atas kebenaran 0,5. Persis seperti dugaan: karena pekerja bersekolah-lama kebetulan juga lebih cakap (dan kecakapan ikut menaikkan upah), OLS membebankan kelebihan itu ke sekolah dan menaksir efeknya terlalu besar. Sekarang kita perbaiki dengan 2SLS.

Tahap 1 — regres X (sekolah) pada Z (jarak)

Susun kolom bantu: simpangan tiap nilai dari rata-ratanya, hasil kalinya, dan kuadrat simpangan $Z$.

Slope dan intercept tahap 1:

Jadi tahap 1 menghasilkan $\hat{X} = 17 - 1 \cdot Z$. Tandanya negatif masuk akal: makin jauh dari kampus (Z besar), makin sedikit sekolah. Hitung nilai prediksinya:

Kolom $\hat{X}$ inilah “lama sekolah versi bersih” — bagian sekolah yang murni ditentukan oleh jarak ke kampus, sudah dicuci dari kecakapan bawaan.

Tahap 2 — regres Y (upah) pada X̂ (sekolah bersih)

Sekarang regresi biasa $Y$ pada $\hat{X}$. Rata-rata $\hat{X}$ tetap $\bar{\hat{x}} = 12{,}5$ (sama dengan $\bar{x}$ — sifat yang selalu berlaku, berguna untuk mengecek hitungan).

Slope tahap 2 — inilah estimasi 2SLS:

2SLS menemukan $\beta_1 = 0{,}5$ dan $\beta_0 = 1{,}0$ — persis kebenaran yang kita tanam. Padahal OLS tadi memberi 0,8226. Dengan menyaring sekolah lewat jarak ke kampus, 2SLS membuang pencemaran kecakapan bawaan dan memulihkan efek kausal yang sesungguhnya.

Bereksperimen Sendiri

Geser tingkat endogenitas dan kekuatan instrumen, lalu bandingkan OLS, 2SLS, dan nilai sebenarnya. Perhatikan: saat endogenitas naik, OLS menyimpang jauh tetapi 2SLS tetap dekat; saat instrumen dilemahkan, 2SLS jadi tak stabil (varians membengkak).

Jebakan: Jangan Hitung Standar Error dari Dua OLS

Anda baru saja menjalankan 2SLS dengan dua regresi biasa, dan koefisiennya benar (0,5 — persis). Godaannya: kenapa tidak sekalian ambil standar error langsung dari OLS tahap kedua? Jangan. Koefisiennya benar, tetapi standar error dari OLS tahap-2 itu salah.

Akar masalahnya satu kalimat: untuk menaksir sebaran error, rumus standar error perlu residual sesungguhnya, $u = Y - (\beta_0 + \beta_1 X)$, yang memakai $X$ asli. Tetapi OLS tahap kedua menghitung residualnya dari $\hat{X}$, yaitu $Y - (\beta_0 + \beta_1 \hat{X})$ — memakai versi yang sudah dibersihkan, bukan $X$ asli. Karena $\hat{X}$ membuang sebagian variasi $X$, residual yang terhitung jadi keliru, dan ragam error yang ditaksir ($\hat{\sigma}^2$) menjadi salah.

Pada data contoh kita, ragam error yang benar (pakai $X$ asli) adalah $\hat{\sigma}^2 = 3{,}33$, sedangkan versi naif (pakai $\hat{X}$) memberi $7{,}5$ — beda jauh, dan dengan demikian standar error-nya pun beda jauh.

Catatan penting (lebih tepat dari yang sering diajarkan). Banyak buku menyebut standar error manual “selalu terlalu kecil”. Itu penyederhanaan yang tidak selalu benar. Arah kesalahannya bisa ke dua sisi tergantung data; pada kasus instrumen valid yang umum, justru sering terlalu besar. Yang pasti: angkanya salah, bukan sekadar “agak meleset ke arah tertentu”. Maka jangan pernah memungutnya.

Solusi: pakai perintah 2SLS resmi yang menghitung standar error dengan benar — ivreg/ivreg2 (R), ivregress (Stata), IV2SLS (Python). Perintah itu memakai $X$ asli untuk residual, dan biasakan menambah standar error klaster (cluster) bila data berkelompok (per provinsi, per perusahaan, per tahun), karena asumsi error seragam jarang berlaku di data nyata.

Identifikasi: Berapa Banyak Instrumen?

Sebelum mengestimasi, hitung dulu: cukupkah jumlah instrumennya? Aturannya membandingkan banyak instrumen dengan banyak regresor endogen.

Contoh kita just-identified: satu endogen (sekolah), satu instrumen (jarak). Kalau Anda punya lebih banyak instrumen daripada endogen, kelebihan itu bisa dipakai untuk uji over-identifikasi (Sargan/Hansen) yang menguji apakah instrumen-instrumen itu konsisten satu sama lain. Uji ini berguna tetapi tidak sempurna: ia bisa lolos walau semua instrumen sama-sama tidak valid, jadi jangan dijadikan satu-satunya pembenaran.

Cara di Perangkat Lunak

Setelah paham mekanismenya, di praktik Anda tidak menyusun dua regresi manual — pakai perintah khusus yang sekaligus membereskan standar error.

# R — paket AER atau ivreg
library(AER)
m <- ivreg(upah ~ pendidikan | jarak, data = dat)
summary(m, diagnostics = TRUE)   # termasuk uji instrumen lemah & Sargan
# Standar error klaster (mis. per provinsi):
library(ivreg); library(sandwich)
coeftest(m, vcov = vcovCL, cluster = ~provinsi)

* Stata
ivregress 2sls upah (pendidikan = jarak), vce(cluster provinsi)
estat firststage      // F-statistik tahap 1 (relevansi)
estat overid          // Sargan-Hansen (kalau over-identified)

# Python — linearmodels
from linearmodels.iv import IV2SLS
m = IV2SLS.from_formula('upah ~ 1 + [pendidikan ~ jarak]', data=df)
print(m.fit(cov_type='clustered', clusters=df['provinsi']))

Contoh Companion Excel

/excel/2sls-manual.xlsx memuat data contoh di atas dengan formula hidup: kolom bantu tahap 1, kolom $\hat{X}$, kolom bantu tahap 2, sampai $\beta_1$ dan $\beta_0$ 2SLS — semuanya terhitung dari data mentah, beserta perbandingan dengan OLS naif dan cheat-sheet kode R/Stata/Python. Excel bagus untuk memahami mekanismenya; untuk estimasi sungguhan (terutama standar error), tetap pakai perintah resmi di atas.

Cek Pemahaman

1. Data kecil empat pekerja. $Z$ (instrumen) = 1, 2, 3, 4; $X$ (endogen) = 9, 6, 5, 6; $Y$ = 12, 7, 6, 9. Jalankan 2SLS just-identified dari nol: tahap 1 (cari $\hat{X}$), lalu tahap 2 (cari $\beta_1$ dan $\beta_0$). Bandingkan dengan OLS naif $Y$ pada $X$.

2. (Soal transfer.) Seorang peneliti ingin mengukur efek harga rokok terhadap jumlah batang yang dikonsumsi. Harga endogen — daerah dengan banyak perokok cenderung menekan harga lewat permintaan, jadi harga dan konsumsi ditentukan bersama. Ia mengusulkan tarif cukai rokok sebagai instrumen harga. (a) Apakah instrumen ini relevan? (b) Apa argumen eksklusi yang harus ia pertahankan? (c) Apa satu cara reviewer bisa menyerang validitasnya?

Kesalahan Umum

Memungut standar error dari dua OLS manual. Koefisien dua-OLS benar, tetapi standar error-nya dihitung dari residual $\hat{X}$, bukan $X$ asli — jadi salah (arahnya bisa terlalu besar atau terlalu kecil tergantung data). Selalu pakai perintah 2SLS resmi.

Memakai instrumen lemah. Kalau $Z$ cuma sedikit berkorelasi dengan $X$, 2SLS bias parah dan tidak stabil. Cek F-statistik tahap 1. Aturan lama “F > 10” kini dianggap terlalu longgar — ambang modern (Lee dkk, 2022) jauh lebih ketat. Lihat weak instruments.

Mengklaim eksklusi tanpa argumen. Validitas instrumen tidak bisa dibuktikan penuh dari data. Butuh argumen teori yang kuat, dan reviewer akan menyerang tepat di sini.

Memasukkan instrumen langsung ke persamaan utama. Kalau $Z$ punya efek langsung pada $Y$ (bukan cuma lewat $X$), ia melanggar eksklusi dan bukan instrumen sah.

Lupa variabel kontrol eksogen di kedua tahap. Variabel kontrol yang eksogen harus masuk di kedua tahap, bukan cuma tahap dua. Kalau hanya di tahap dua, $\hat{X}$ jadi tercemar.

Mengabaikan standar error klaster. Data nyata sering berkelompok (per daerah, per perusahaan, per tahun). Standar error 2SLS biasa mengasumsikan error seragam dan independen; tambahkan opsi klaster bila struktur datanya berkelompok.

Dipakai di Dunia Nyata

• Imbal balik pendidikan (Indonesia). Studi efek pendidikan terhadap upah memakai instrumen seperti jarak ke sekolah, reformasi wajib belajar (perluasan SD massal akhir 1970-an dipakai Duflo, 2001 untuk Indonesia), atau tanggal lahir relatif terhadap aturan usia masuk sekolah.
• Efek institusi terhadap pertumbuhan. Acemoglu, Johnson, dan Robinson (2001) memakai mortalitas penjajah sebagai instrumen kualitas institusi — daerah yang mematikan bagi penjajah cenderung mendapat institusi ekstraktif yang bertahan sampai kini.
• Elastisitas permintaan. Harga endogen karena ditentukan bersama oleh penawaran dan permintaan. Instrumennya: pergeseran biaya (cuaca yang memengaruhi panen, tarif pajak/cukai) yang menggeser penawaran saja, bukan permintaan.
• Kebijakan publik & evaluasi program. Saat penempatan program tidak acak, instrumen seperti eligibilitas berbasis aturan atau jarak ke lokasi layanan dipakai untuk memulihkan efek kausal program.

Lanjutan

• Berikutnya yang wajib: Weak Instruments (ambang Lee dkk, 2022) — kenapa F > 10 tidak lagi cukup, dan apa gantinya.
• Anderson-Rubin Test — inferensi yang tetap sahih meski instrumen lemah.
• Hausman Test — menguji apakah $X$ benar-benar endogen, sebelum repot-repot ber-2SLS.
• Instrumental Variable: F-stat dan tF Procedure — fondasi langsung artikel ini.

Fondasi:

• Apa Itu Endogeneity — tiga sumber bias (variabel terhilang, simultanitas, kesalahan pengukuran).
• Regresi Linear Sederhana — mesin yang dijalankan dua kali di 2SLS.

Reference

• Wooldridge, J. (2019), Introductory Econometrics: A Modern Approach, Ch. 15.
• Card, D. (1995), “Using Geographic Variation in College Proximity to Estimate the Return to Schooling.”
• Duflo, E. (2001), “Schooling and Labor Market Consequences of School Construction in Indonesia.” American Economic Review.
• Acemoglu, D., Johnson, S., & Robinson, J. (2001), “The Colonial Origins of Comparative Development.” American Economic Review.
• Angrist, J. & Pischke, J.-S. (2009), Mostly Harmless Econometrics, Ch. 4.
• Lee, D., McCrary, J., Moreira, M., & Porter, J. (2022), “Valid t-ratio Inference for IV.” American Economic Review.